一轮复习配套讲义：第8篇 第7讲 抛物线设计

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1、第7讲　抛物线[最新考纲]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：

2、MF

3、＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表性质顶

4、点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFFe＝1离心率准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下辨析感悟1．对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013·北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝，准线方程为y＝－1.(√)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(5)过抛物线的

5、焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)[感悟·提升]1．一点提醒　抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．2．两个防范　一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).考点一　抛物线的定义及其应用【例1】(2014·深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F

6、，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则

7、FM

8、∶

9、MN

10、＝(　　)．　A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3解析　如图所示，由抛物线定义知

11、MF

12、＝

13、MH

14、，所以

15、MF

16、∶

17、MN

18、＝

19、MH

20、∶

21、MN

22、.由△MHN∽△FOA，则＝＝，则

23、MH

24、∶

25、MN

26、＝1∶，即

27、MF

28、∶

29、MN

30、＝1∶.答案　C规律方法抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．【训练1】(2014

31、·山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当

32、a

33、＞4时，

34、PA

35、＋

36、PM

37、的最小值是________．解析　将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，

38、a

39、＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为

40、PN

41、，由定义知，

42、PA

43、＋

44、PM

45、＝

46、PA

47、＋

48、PN

49、－1＝

50、PA

51、＋

52、PF

53、－1.当A，P，F三点共线时，

54、PA

55、＋

56、PF

57、取最小值，此时

58、PA

59、＋

60、PM

61、也最小，最小值为

62、AF

63、－1＝－1.答案　－1考点二　

64、抛物线的标准方程与几何性质【例2】(2014·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若

65、BC

66、＝2

67、BF

68、，且

69、AF

70、＝3，则此抛物线的方程为(　　)．A．y2＝9x　　B．y2＝6xC．y2＝3x　　D．y2＝x解析　如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：

71、AF

72、＝

73、AA1

74、，

75、BF

76、＝

77、BB1

78、，∵

79、BC

80、＝2

81、BF

82、，∴

83、BC

84、＝2

85、BB1

86、，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1

87、⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则

88、KF

89、＝

90、A1F1

91、＝

92、AA1

93、＝

94、AF

95、，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.答案　C规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】(2014·兰州一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的

96、准线相切，则m＝(　　)．A．±2B.C.D．±解析　抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为2＋y2＝，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝±.答案　D考点三　直线与抛