一轮复习配套讲义：第7篇 第6讲 空间向量及其运算设计

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1、第6讲　空间向量及其运算[最新考纲]1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知识梳理1．空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，

2、b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量

7、表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

8、a

9、夹角(a≠0，b≠0)cos＝辨析感悟1．空间向量的线性运算(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(√)(2)(教材习题改编)

10、a

11、－

12、b

13、＝

14、a＋b

15、是a，b共线的充要条件．(×)(3)若a，b共线，则a与b所在直线平行．(×)(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x

16、＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(×)2．共线、共面与垂直(5)对于空间非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.(√)(6)(教材习题改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若

17、a

18、＝6，且a⊥b，则x＋y的值为1或－3.(√)(7)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于.(√)3．空间向量的数量积(8)在向量的数量积运算中满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(9)已知向量a＝(4，－2，－4)，

19、b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为－13.(√)(10)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为－.(√)[感悟·提升]1．一种思想　理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比，如(5)．2．两种方法　一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，如(5)．二是强化坐标运算，如(6)、(7)、(9)、(10).学生用书第122页考点一　空间向量的线性运算【例1】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，

20、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋，又＝x＋y＋z，根据空间向量的基本定理，x＝，y＝z＝.答案　，，规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量

21、的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．【训练1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示.解　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－.考点二　共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：E

22、，F，G，H四点共面．(2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.规律方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．【训练2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满