一轮复习配套讲义第8篇第7讲抛物线

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1、第7讲　抛物线[最新考纲]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：

2、MF

3、＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表顶点O(0,0)性质对称

4、轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下辨析感悟1．对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013·北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝，准线方程为y＝－1.(√)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线

5、截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)[感悟·提升]1．一点提醒　抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．2．两个防范　一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).考点一　抛物线的定义及其应用【例1】(2014·深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则

6、

7、FM

8、∶

9、MN

10、＝(　　)．　A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3解析　如图所示，由抛物线定义知

11、MF

12、＝

13、MH

14、，所以

15、MF

16、∶

17、MN

18、＝

19、MH

20、∶

21、MN

22、.由△MHN∽△FOA，则＝＝，则

23、MH

24、∶

25、MN

26、＝1∶，即

27、MF

28、∶

29、MN

30、＝1∶.答案　C规律方法抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．【训练1】(2014·山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的

31、射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当

32、a

33、＞4时，

34、PA

35、＋

36、PM

37、的最小值是________．解析　将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，

38、a

39、＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为

40、PN

41、，由定义知，

42、PA

43、＋

44、PM

45、＝

46、PA

47、＋

48、PN

49、－1＝

50、PA

51、＋

52、PF

53、－1.当A，P，F三点共线时，

54、PA

55、＋

56、PF

57、取最小值，此时

58、PA

59、＋

60、PM

61、也最小，最小值为

62、AF

63、－1＝－1.答案　－1考点二　抛物线的标准方程与几何性质【例2】(2014·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0

64、)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若

65、BC

66、＝2

67、BF

68、，且

69、AF

70、＝3，则此抛物线的方程为(　　)．A．y2＝9x　　B．y2＝6xC．y2＝3x　　D．y2＝x解析　如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：

71、AF

72、＝

73、AA1

74、，

75、BF

76、＝

77、BB1

78、，∵

79、BC

80、＝2

81、BF

82、，∴

83、BC

84、＝2

85、BB1

86、，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则

87、KF

88、＝

89、A1F1

90、＝

91、AA1

92、＝

93、AF

94、，即p＝

95、，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.答案　C规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】(2014·兰州一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝(　　)．A．±2B.C.D．±解析　抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为2＋y2

96、＝，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝±.答案　D考点三　直线与抛