四种方法求解绳（杆）末端速度问题

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1、四种方法求解绳（杆）末端速度问题　　问题两小物块通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物块A以速度v1向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图1所示.求物块B的运动速度vB（绳始终有拉力）.　　方法一：常规方法　　1.选择“连接点”.该点必须是同时参与平动和转动的点.2.判断该点的合速度.即为方向绐终不变的速度，或为该点实际运动的速度.3.再分析该点参与了哪两个运动.　　解析A、B两物块通过绳相连接，且两物块都是运动的，物块的实际运动速度是合速度，物块的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果.物块

2、A向右运动的过程中，物块A的速度是合速度，绳的速度是分速度，可将合速度分解为沿绳方向与垂直于绳方向的两个分速度，如图2所示，由图可知v绳A=v1cosα.同理物块A向右运动的过程中，物块B的速度是合速度，绳的速度是分速度，可将合速度分解为沿绳方向与垂直于绳方向的两个分速度，如图2所示，由图可知v绳B=vBcosβ.由于绳子不可以伸长，则有v绳A=v绳B，所以vB=v1cosα/cosβ.　　这种解法学生不易接受，很容易出现另外一种错误，即v绳A=v1/cosα，v绳B=vB/cosβ，导致结果错误.为了避免学生犯错误，同时便于

3、学生理解和拓宽学生的思路，下面三种方法较好，且方法二和方法三方便快捷，易被学生理解并接受.4　　方法二：分解法　　（1）原理：由于绳（杆）长度不变，因此两端沿绳（杆）方向的分速度大小相等.　　（2）求解方法：把物块的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解.　　解析A、B两物块的速度分解如图，由图可知：　　v绳A=v1cosα，v绳B=vBcosβ，　　由于绳长度不变，有v绳A=v绳B，　　所以vB=v1cosα/cosβ.　　方法三：功率法　　（1）原理：通过绳（杆）连接的

4、物块时，往往力拉轻绳（轻杆）做功的功率等于轻绳（轻杆）对物块做功的功率.　　（2）求解方法：通过绳（杆）连接物块时，由绳（杆）长度不变，轻绳（轻杆）的弹力对两物块做功的功率相等.　　解析设绳对物块的拉力为T，由绳长度不变，绳的拉力对两物块做功的功率相等.则有　　TvBcosβ=Tv1cosα，　　所以vB=v1cosα/cosβ.　　方法四：求导法　　利用导数可以拓宽原有知识的深度和广度，也可以打开解决问题的思路，可以加深学生对知识的理解，但因学生的熟练程度不够，使用的也少，若学生层次高可以用.4　　解析如图3所示，物块B在题

5、图位置时绳子长r，物块B离滑轮的水平位移为x，物块B离滑轮的竖直高度h，由勾股定理得　　x2+h2=r2.　　对时间求导得2xx′+2hh′=2rr′，其中r′就是绳子的速度v绳B，x′就是物块B的速度vB，h′=0，则有xvB=rv绳B，所以v绳B=vBcosβ.　　同理有：v绳A=v1cosα由于绳子不可以伸长，则有v绳A=v绳B，所以vB=v1cosα/cosβ.　　为了让上述观点得到推广，现用分解法和功率法求解下面问题：　　例1如图4所示，A、B两小球分别套在两光滑的水平直杆上，两小球通过一轻绳绕过一个定滑轮相连，现在

6、将A小球以速度vA向左匀速移动，某时刻连接两小球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，绳始终有拉力，此时B小球的速度是多少？　　第一，用分解法解析　　将A、B两小球的速度分解为垂直于绳和沿绳两个分量，沿绳的分量分别为v绳A、v绳B，由于绳长度不变，有v绳A=v绳B，所以　　vB=vAcosα/cosβ.　　第二，用功率法解析　　设绳对A、B小球的拉力为T，由绳长度不变，绳的拉力对两物块做功的功率相等.则有TvBcosβ=TvAcosα，所以vB=vAcosα/cosβ.　　例2如图5所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面

7、滑动，当AB杆和墙的夹角为β4时，杆的B端沿墙下滑的速度大小为vB，A端沿地面的速度大小为vA.则vA、vB的关系是什么？　　此题用分解法解析把A、B两端的速度分解为垂直于杆和沿杆两个分量，沿杆的分量分别为v杆A、v杆B，即v杆A=vAcos（90°-β），v杆B=vBcosβ，由于杆长度不变，有v杆A=v杆B，所以vB=vAtanβ.　　由于此题杆两端弹力的功率为零，所以不会用功率法求解.4