例说用物理方法解决数学问题

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1、例说用物理方法解决数学问题江湖俚语称“烟酒不分家”，高中教学则有“数理不分家”.确实，解决物理问题与数学手段的关系最密切，没有数学基础，物理是不能学好的；但人们不能忽视，物理之与数学，同样有着重要的“反作用力”，这里例说几个，请大家欣赏鉴定并批评指正，共同探讨数理交融教学的得失.利用重心概念证明三角形的三条中线必定相交于一点：模型为一块均匀三角形薄板，把它平行于一边分割成无数条等间隔条子，则每小条可以看作一条“线段”，它的的重心在它的中点；因为这些“线段”是按相同比例毗邻递进的，所以把这些点连起来应该是一条直线，它就是三角形△ABC中BC边上的一条中线AD，显然三角形总的重心必定在这条中线上；

2、另两条边作类似处理，则三角形的重心也应该在那两条中线上；而三角形的重心只有一个，所以三角形的三条中线必相交于一点，且这一点就是它的重心.利用光程最短原理确定路径：如图2，右方块代表沙漠地，左方块是草地，AC是分界线；车在绿地中速度可达5m/s，沙地中是3m/s；从分界线上A点出发，要去沙地中的B处，且B到分界线的垂直距离BC=400m，而AC=1000m，要用最短的时间到达目的地，请问行进路线如何设计？最短的时间是多少？5考虑总的路程要少一点，显然直接到C点再转向B是不合算的，应该从AC之间的某点折向B；且因绿地中的车速大一点，所以要尽可能在AC上多跑一点；故设在D点转弯，并设AD=x；可立得

3、关于用时的函数关系式：t=x5+（1000-x）2+1600003.如何求此函数的极小值？兴趣小组的同学认为可以先求导而解决，但求导法对绝大多数的学生是不现实的；另有一同学建议极好：利用Excel强大的计算功能，先输入函数式，再逐个输入x的猜想值，可以无限逼近而找出相应的x和t值，甚至直接利用计算器也行，只是多花一点时间.可不可以更简便一点呢？提示他们试用物理方法后，他们也很快找到了解决的办法：利用光路可逆和光程最短原理，沙地和绿地相当于两种介质，相对折射率为5/3，从沙地向绿地的“全反射临界角”sinC=1/n=3/5，C=37°；这样很容易定出车在沙地中要跑500m，在边界绿地上要跑700

4、m，所用的最短时间为tmin=（7005+5003）s，比直接用数学求极值法要简单多了，而且可以避开导数这一高中数学瓶颈.你如果有兴趣，完全可以把这种特殊情况向一般性的现实推进：左侧草地上的车速可达v1，右侧沙地上可达v2；出发点A，目的地B，A到边界的距离为AE=d1，B到边界的距离为BC=d2，CE=L，如图3所示.利用光程最短原理，设D为最佳拐点、DE=x，用光的折射定律就可以求出x的值并继而确定最少的过程时间.求抛物线上任一点的切线方程和曲率半径：5已知抛物线的方程为y=ax2（其它的可以通过平移、旋转转化至此形式），求某点P（x1，y1）的切线方程和曲率半径.构建合适物理模型：如图4

5、，一个质量为m的小球从O点以水平初速度v0作平抛运动，到达抛物线轨迹上的P点，瞬时速度v是抛物线在该点的切线.利用平抛物体运动的规律，我们极容易地证明此时速度的反向延长线必交x轴于（x1/2，0）处，所以作这条切线也就十分明确，它的方程可以用两点式写出：y-y1x-x1=y1-0x1-x1/2；那么作它的垂线并求其方程自然也就没有问题了，可见曲率圆的圆心就在这条垂线上；再据图可求得sinθ=x1/2x21/4+y21=11+4a2x21（1）从平抛规律可有，x1=v0t，y1=12gt2且y=ax21，由此可以得到v20=g/2a（2）根据曲率圆上向心力的提供法可得mgsinθ=mv2/r（3

6、）从抛出点到P点符合机械能守恒，简写作v2=v20+2gy1=v20+2gax21（4）联解（1）、（2）、（3）、（4）可得曲率半径的大小为r=（1+4a2x21）3/22a.为了放心，我们再用数学方法加以验证：对y=ax2求一阶、二阶导数y′=2ax，y″=2a，其曲率半径公式r=（1+y′2）3/2y″=（1+4a2x21）3/22a，5说明物理方法可靠无误.利用开普勒定律推导椭圆面积公式高中数学不能推导椭圆的面积公式，我们可以用物理方法试一试.构建合适的物理模型为行星绕太阳公转如图5，太阳处在焦点F1，设定太阳的质量为M，行星的质量为m，近日点的速度为v1，远地点为v2，近地点和远地点

7、的曲率半径均为r，则根据机械能守恒可得12mv21-GMma-c=12mv22-GMma+c（1）从向心力的提供角度可有GMm（a-c）2=mv21r（2）GMm（a+c）2=mv22r（3）联解（1）、（2）、（3）消去GMm就可以得到r=b2a.对近日点来说，从向心力的提供法可得GMm（a-c）2=mv21r，把上面所得r=b2a代入即可有v1=ba-cGMa；根据开普勒定律，行星与太阳的连线