μ=tanφ的秘密

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1、μ=tanφ的秘密　　【摘要】涉及摩擦力的动力学和静力学问题，是高中力学研究的重要问题之一，也是学生难以掌握的重要问题之一，应用正交分解法解题时会显得有些繁琐，本文通过课本知识的拓展寻求解题方法的创新，同时还引用静摩擦锥重新认识摩擦自锁现象。方法的创新使得我们认识问题更为深刻，解题时更为简单，能够做到深入浅出。　　【关键词】巧思妙解；滑动摩擦角；最大静摩擦角；摩擦自锁　　一、巧思妙解　　依据三角形法则，两个互成角度的共点力合成时，可将代表两个力的有向线段首尾相接，从一个力的箭首指向另一个力的箭尾就得到这两个力的合力。由此可以类推出多个互成角度的平面共点力合成时，将代表这多个力的

2、有向线段首尾相接，从第一个力的箭首指向最后一个力的箭尾就得出这多个力的合力，如图1所示为四个平面共点力的合成图。　　进一步探讨不难发现，滑动摩擦力f和正压力N之间存在这样的关系：（1）方向相互垂直；（2）动摩擦因数一定时，大小成正比；（3）相互对应地作用在同一物体上。在动摩擦因数一定的情况下，滑动摩擦力和正压力的合力F与正压力N方向间的夹角为定值，且tanφ==μ，如图2所示，此处称角为滑动摩擦角。　　现在应用以上两个拓展后的知识点来解高考题。4　　[2013年高考山东理综试卷第22题]如图3所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力

3、F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。已知斜面倾角，物块与斜面之间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2。　　（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。　　（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？　　来看下面的简便快捷的解法。先将小物块受到的滑动摩擦力和支持力合成为力F1，设力F1与支持力N方向间的夹角为φ，且tanφ=μ=，φ=30o，则力F1与竖直方向的夹角为β=φ+θ=60o。小物块的加速度方向沿斜面向上，将力F1、重力G和拉力F合成后得到的合力F合方向也应沿斜面向上。这个图不

4、便于快速得出拉力F的最小值，解题时应尽量把重力G和合力F合这两个恒力画在一起，这样求拉力F的最小值更加方便快速如图4。拉力F的方向改变时其箭首位置在图中不变，箭尾位置可在力F1的力线上移动，在图中不难看出，当拉力F与力F1垂直时，拉力F最小，此时拉力F与斜面的夹角为α0=30o，将F合与G投影到Fmin上，其投影长度之和为Fmin的长度，于是拉力F的最小值为：　　Fmin=F合cosα0+Gsinβ=macosα0+mgsinβ。　　代入数据，得Fmin=2.6N。　　二、摩擦自锁4　　物体间的相对滑动趋势可能是由于运动变化引起的，也可能是由于产生相对滑动趋势的主动性外力变化引

5、起的，不管如何，静摩擦力的大小都会随相对滑动趋势的增大而增大，直到正要发生相对滑动的临界状态时静摩擦力才达到最大值。最大静摩擦力的大小与物体间的正压力成正比：fmax=μ0N，比例系数称作最大静摩擦力系数。把物体受到的来自支承面的支持力N和静摩擦力f合成为一个力F，设力F与N方向间的夹角为φ，则有tanφ=≤=μ0=tanφm，即有φ≤φm。　　如果用一个主动性外力作用在物体上并指向支承面，若F主与支承面的法线成θ角，则只要θ≤φm，无论F主有多大，支承面对物体的支持力和静摩擦力的合力F都能与F主平衡，使物体与支承面之间不会发生相对滑动，也就是平常所说的无论用多大的力都推不动，

6、这种现象叫做摩擦自锁。考虑到受力方向的空间性，也为了便于说明，不妨以支持力N的力线为轴，以支持力N和最大静摩擦力fm的合力Fm为母线旋转一周构成一个圆锥，称之为静摩擦锥，其顶角的一半便是φm，如图5所示。当产生相对滑动趋势的主动性外力F主的作用线位于静摩擦锥内时，便会出现摩擦自锁现象，相反，若在静摩擦锥外时物体相对支承面就会发生相对滑动。　　放在粗糙斜面上静止的物体，只要斜面倾角θ不超过静摩擦锥的半顶角φm，无论物体有多重都能静止在斜面上，这就是斜面自锁。此时物体的重力为主动性外力，如图6所示，重力的作用线在静摩擦锥内。为什么木制家具的榫眼里可以加楔呢？是因为顶角较小的木楔能自

7、锁在榫里不会被挤出来，将榫眼的缝隙填满，从而增强木榫的牢固性。同样的道理，千斤顶能承受巨大的轴向压力，也是利用了螺旋内部的斜面自锁原理。　　小结4　　滑动摩擦力和静摩擦力中都隐藏着的秘密，运用这个秘密可以巧妙而快速地解决动力学和静力学问题。4