一轮复习配套讲义：第7篇 第2讲 空间几何体的表面积与体积设计

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1、第2讲　空间几何体的表面积与体积[最新考纲]1．了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．2．了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.知识梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面　积体　积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h　直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h球S球面＝4πR2V＝πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图

2、分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.(√)(4)(2013·浙江卷改编)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于24cm3.(√)(5)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线B

3、C旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(6)将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(7)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为a3.(×)[感悟·提升]两点注意　一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.学生用书第109页考点一　空间几何体的表面积【例1】(2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图

4、和侧视图，其俯视图是面积为8的矩形．则该几何体的表面积是(　　)．A．8B．20＋8C．16　D．24＋8解析　由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为2，由面积8，得长为4，则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋2×4＋2×2×4＝20＋8.答案　B规律方法(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面

5、图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【训练1】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析　如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.答案　38考点二　空间几何体的体积【例2】(1)(2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π(2)(2014·福州模拟)如图所示，已知三棱柱AB

6、C－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)．A.B.C.D.解析　(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2、高为4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.故选A.(2)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.答案　(1)A　(2)A规律方法(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求

7、解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．【训练2】如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．解　法一　连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF.∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，且平面B1D1D∩平面B1ED