类比恰似伟大的领路人

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1、类比恰似伟大的领路人　　摘要：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学修养，这不仅要让学生掌握数学知识，而且要掌握渗透于数学知识中的思想方法，能用数学知识和方法解决实际问题。在中学数学课程设置中，从平面几何到立体几何，从方程、不等式到函数，从圆到二次曲线等问题的研究过程中，无不体现类比这种数学思想方法。类比思维是一种极富创造性的思维方法，是提出假说进行猜想的基础，是各种创造性思维的源泉。　　关键词：类比；数学思想方法；数学学习；能力　　纵观近年来各地高考数学试题可知，教材是高考试题的根本来源。多数试题是课本的类比题，有的试题直接取自教材概念、公式、例题或习题的改编。有的试题是教材中的

2、几个题目或几种方法的综合。但是学生做习题时往往停留于机械模仿，习题的条件或结论做一些微妙的变化，就会出现答非所问，碰到新颖的题目，更是不知从何下手。究其原因，主要是学生思维僵化，不善于联想类比，生搬硬套，缺乏随机应变的能力。笔者就最近期末复习卷上的一道填空引发一些思考。　　原题：问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路：方程3x+4x=5x可变成（■）x+（■）x=1，考察函数f（x）=（■）x+（■）x可知，f（2）=1，且函数f（x）在R上单调递减，所以原方程有唯一解x=2。仿照此解法求不等式x6-（2x+3）>（2x+3）3-x2的解。4　　学生一：令f（x）=x6-（2

3、x+3）-（2x+3）3+x2，通过求导判断原函数的零点及单调性，进而求出不等式的解，但导函数还是高次函数，没法求根，思路因此中断。　　学生二：原不等式即[（x2）3-（2x+3）3]+（x2-2x-3）>0　　即（x2-2x-3）[x4+x2（2x+3）+（2x+3）2]>0　　即（x+1）（x-3）[x2（x+1）2+6（x+1）2+4]>0　　因为平方项恒非负，所以不等式的解为（-∞，-1）∪（3，+∞）　　点评：两位学生都没有领悟到此题的本意，属于方向性错误，这是道类比填空，属于解题方法上的类比。原方程的求解给我们提供了一个很好的示范，变形，构造新函数，判断单调性进而求解，

4、而此方法也可类似的用到解不等式中。　　正解：原不等式即（x2）3+x2>（2x+3）3+（2x+3）　　不等号两边都是t3+t的形式，因此构造函数f（t）=t3+t　　原不等式即f（x2）>f（2x+3）　　显然f（t）在R上单调递增，因此只需x2>2x+3　　所以不等式解为（-∞，-1）∪（3，+∞）　　利用类比方法，最终把一道复杂的高次不等式转化为简单的一元二次不等式。而当时全班利用此方法解出的只有区区几个学生！这一严峻的结果不得不让我反思平时的课堂教学。我们只研究教师如何传授知识，不重视学生如何自主学习。学生能够掌握一些常规的解题方法，但一遇到稍复杂的新题型就不知所措，解题的

5、瓶颈难以逾越。新课标提倡要培养学生的创造性思维，若教师在平时的教学中能把类比这种教学思想渗透于课堂，将对学生的思维能力、分析问题及解决4数学问题能力的提高有很大的帮助，而且有利于培养学生学习数学的兴趣和积极性，达到事半功倍的效果。　　类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。　　一、运用类比法有效沟通新旧知识，突破教学难点　　许多数学概念都有相似之处，教师在引入新概念时，运用类比有助于活跃学生的思维，因为学生一旦发现新概念特征与过去已知的概念相似，他就会积极主动地推测新概念特征的相同之处，在培养学生创新能力的同时，更提高了课堂效率。运用类比法，可以促使学

6、生回顾旧知识，尝试在已有知识的基础上，去发现新结论，构建新知识，可以有效地实现旧知识在新内容中的迁移，帮助学生建立新旧知识的联系，突破教学难点，降低教学难度。尤其在一些概念、性质、定理、公式、题型方面，是常用的教学方法。　　二、运用类比法加深学生对知识点的理解　　学生在进行基础知识讲解，解题指导时，往往只注意到知识点和题目的一些外在形式，而忽略了一些本质特征，如其中所蕴涵的数学思想方法，忽视知识点、相关题目间的联系，这容易造成学生经常出现解题盲点，无法将所学知识，所掌握的解题方法、技巧顺利的应用到独立解题中。而恰当地运用类比，可以让学生将所学知识、技能进行分析比较，找到它们之间的相

7、互联系和区别，探明其形式和本质的统一，从而使问题得到圆满的解决。　　三、运用类比法有利于激发学生探索，获得“再发现”的体验4　　在进行类比和知识迁移的过程中，学生是作为一个探索者、研究者和发现者而去进行研究的，这使得学生能从中获得大量探索发现的机会。同时，类比思维在数学知识的延伸拓展中常常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻找思维的变异和发散，因此，类比方法是数学发现的有效方法。在学习立体几何中，学生可以利用平面几何中已有的性质定理，探索和研究立体几何中的相关性质。