第三讲 函数及其图像

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1、第三讲函数及其图像　　函数及其图像是初中数学的核心内容，是中考的重点，主要考查函数的基础知识.三类函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的图像、性质及其应用是命题的重点.现以2013年中考题为例，把常考的知识点归纳如下，供你复习时参考.　　考点1确定函数自变量的取值范围　　例1（2013年泸州卷）函数y=自变量x的取值范围是（）.　　A.x≥1且x≠3B.x≥1C.x≠3D.x>1且x≠3　　解析：由二次根式的被开方数不能是负数，分式的分母不能为0，得x-1≥0，x-3≠0，　　解得x≥1且x≠3.故选A.　　温馨小提示：求函数自变量的取值范围要注意以下几点：（1）分母不能为0

2、；（2）偶次根式的被开方数不能是负数；（3）0指数或负整数指数幂的底数不能为0；（4）自变量的取值不能使实际问题失去意义.当函数关系式同时有几种形式出现时，先求出各代数式中自变量的取值范围，再取其公共部分，公共部分就是函数自变量的取值范围.此外，注意“或”与“且”的区别.　　考点2用函数图像描述事物的变化规律　　例2（2013年湘西卷）小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里.9下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图像是（）.　　解析：小芳爷爷离家外出进行体育锻炼，开始慢步行走，说明离

3、家的距离逐步变大；在公园打太极拳时，离家的距离是不变的，故可排除D；返回时，沿原路跑步到家里，说明离家的距离逐渐变小，直至为0，且比出去时的速度要快，故可排除A、B.故选C.　　温馨小提示：对于函数图像信息题，要充分挖掘图像所蕴含的信息，通过读图、想图、析图寻找解题的突破口.解答与日常生活相关的问题，要充分利用生活经验来帮助思考.本题以实际问题为背景找相应的函数图像，先要弄清问题可分为几段，以及在这个过程中变化的量及不变的量，从而确定大致图像.　　考点3一次函数的图像及其性质　　例3（2013年菏泽卷）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5，kb=6，那么该直线经过（）.　　A

4、.第二、四象限B.第一、二、三象限C.第一、三象限D.第二、三、四象限　　解析：方法1只要求出k与b的具体值，即知k与b的正负，进而判断一次函数y=kx+b的图像位置.由k+b=-5得k=-b-5，代入kb=6得b（-b-5）=6，解得b1=-2，b2=-3，所以k1=-3，k2=-2.当b1=-2，k1=-3时，该直线经过第二、三、四象限；当b1=-3，k1=-2时，该直线经过第二、三、四象限.故选D.　　方法29直接分析k与b的正负，从而判断一次函数y=kx+b的图像位置.由k+b=-5知，k与b中至少有一个为负数；由kb=6知k与b同号，所以k与b均为负数，根据一次函数图

5、像的性质可知，该直线经过第二、三、四象限.　　温馨小提示：一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b符号决定图像的位置.当k>0，b>0时，图像经过第一、二、三象限；当k>0，b0时，图像经过第一、二、四象限；当k0，则m、n中至少有一个数为正，若m+n0，则m与n同号；若mn<0，则m与n异号.　　考点4反比例函数的图像与性质　　例4（2013年株洲卷）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数y=的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（）.　　A.y3

6、的方法有三种：　　方法1（计算法）　　分别把各点的横坐标代入反比例函数解析式，求出y1、y2、y3的值，再比较其大小即可.　　∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数y=的图像上，　　∴y1=6，y2=3，y3=-2，∴y1>y2>y3.故选D.　　方法2（性质法）　　∵k=6>0，　　∴反比例函数图像在第一、三象限内，A、B两点在同一象限，y随x的增大而减小，9　　∵1y2；　　又点C在第三象限，∴y1>y2>y3.故选D.　　方法3（图像法）　　画出函数y=的图像（草图，图略），标出A、B、C三点，由图像可知y1>y2>y3.故选D.　　温馨小提示

7、：根据反比例函数的增减性比较图像上点的纵坐标大小，要分同一象限和不同象限内的点进行比较，同一象限内的点可根据增减性进行比较，不同象限的点可根据纵坐标的正负性进行比较.上述三种解法各有特色，要灵活选用，也可相互验证.　　考点5一次函数的图像及其性质　　例5（2013年滨州卷）如图1，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（-1，0）.下面的四个结论：①2a+b=0；②4a-2b+c0；④当y2.其中正确的个数是（）.　　A