高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_9 圆锥曲线的综合问题 第3课时 定点、定值、探索性问题教师用书

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1、为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第3课时　定点、定值、探索性问题题型一　定点问题例1　(2016·长沙模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．(1)解　设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，

2、且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明　由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.同理由＝λ2知λ2＝－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴

3、(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围为深入贯彻落实党的十九大

4、精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争　(2017·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，

5、BF

6、＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．解　(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①焦点F(c,0)，因为＝，

7、②将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1.③由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1.故所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0.因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0，即t2－λ2＋2＝0.④设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则＝(－－x0，y1)，＝(－x0，y2)．因为MN为圆的直径，故·＝x－2＋y1y2＝0.⑤当t＝0时，不符合题意，故t≠0.因为y1＝，y2＝，所以y1y2＝，代入⑤结合④得·＝为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇

8、扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争＝，要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点．题型二　定值问题例2　椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交

9、于点Q.(1)当

10、CD

11、＝时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值．(1)解　∵椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得b＝1，c＝1，∴a＝，∴椭圆的方程为＋x2＝1.当直线l的斜率不存在时，

12、CD

13、＝2，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0,则x1