解题锻炼速度 反思成就高度

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1、解题锻炼速度反思成就高度　　很多同学认为，审题、探索解题方向、实现解题目标是解决数学问题的全部环节，只要求出了最终答案，就万事大吉了.于是，不停地做题就成了数学学习的全部过程.但与此同时，我们也会听到很多类似的抱怨：“为什么我做了那么多数学题，数学成绩却总是停滞不前呢？”　　从本质上讲，仅仅致力于做题只是一种重复训练，它确实能让我们解题更顺畅，但对解题能力的真正发展却不能起很大的作用.著名数学教育家G?波利亚讲过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾.”所谓回顾，就是指解题后的反思.那我们该如何进行反思呢？　　解完一道

2、题，我们首先应该对这道题作进一步的思考：答案是否合理？解题过程是否使用了题中所有的条件？思路是否严密？题目所要求的问题都解决了吗？……反思整个解题过程，能使我们及时修正解题中出现的错误.　　例1[2012年高考数学陕西卷（理科）第8题]两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有　　（A）10种（B）15种（C）20种（D）30种　　解析：7由题目可知先赢三局者获胜，所以很多同学理解成打五局的比赛.如果甲获胜，他只要在五局比赛中赢三局就可以了，因此甲胜乙的可能情形有=10种

3、.同理，乙胜甲对应的可能情形也有=10种.因此所有可能出现的情形共有20种，选C.　　反思：答案确实是20种，但我们有必要问一句：一定是赛五局吗？按比赛规则，如果甲从第一局起连赢三局，经过三场比赛就获胜了.可见，“先赢三局者获胜”意味着谁先赢三局谁就取胜，不一定要打满五局.　　若设甲胜乙，比赛结果可以分3种：3∶0，3∶1，3∶2.其中3∶0共有1种情形；3∶1共有=3种情形：甲在前3局中输了1局，第4局获胜；3∶2共有=6种情形：甲在前4局中输了2局，第5局获胜.共计1+3+6=10种情形.同理，乙胜甲也有10种情形.因此所有可能出现

4、的情形共有20种.　　例1中的解法求得了正确答案，可以算是“瞎猫碰到了死耗子”.如果我们把这种解法改进一下，也能使之成为正确解答.　　“先赢三局者获胜”意味着比赛结束时，最多需要比五场.以甲胜乙为例，我们可以把甲获胜看作从5个大小相同且编号分别为1，2，3，4，5的小球中任取3个，则甲获胜的情形有=10种.同理，乙获胜的情形也有10种，故所有可能出现的情形共有20种.通过这样的思考，我们就能把例题中“无厘头”的解答变得道理十足，并顺势得出一个恒等式：1++=.推广到一般形式，则有+++…+=，证明该式时只要将看成即可！反思的作用由此可见

5、一斑.　　数学知识之间是纵横交错、相互联系的，所以很多数学问题的解法并不唯一.解完题后，还应该从多个角度思考，看看是否还有其他解法.通过探求一题多解，可以防止思维定势，找出最合适的解题方法，并及时总结各类解题技巧，以便在今后更快捷地解决问题.7　　例2[2012年高考数学全国新课标卷（理科）第13题]已知向量a，b的夹角为45°，且a=1，2a-b=，则b=.　　解析一：已知条件为2a-b=，a=1，且向量a，b的夹角为45°，只要把式子2a-b=两边同时平方，就可以得到一个关于b的二次方程并求出b.2a-b2=（）2即4a2-4a?b

6、?cos45°+b2=10，代入a=1，整理得b2-2b-6=0.因为b≥0，所以b=3（b=-舍去）.　　反思：由于向量具有代数和几何的双重属性，所以求解向量问题时，我们还可以建立坐标系，用代数方法解决；或构造几何图形来解决.　　解析二：在平面直角坐标系中，令a=，b=.因为向量a，b的夹角为45°且a=1，所以可设点A（1，0），B（t，t）（t>0），故2a-b=（2-t，-t），2a-b==，整理得2t2-4t-6=0，由t>0可得t=3（t=-1舍去），所以b==3.　　解析三：如图1所示，根据题意构造△ABC，使=2a，=b

7、，∠BAC=45°.由题意可知=2a-b，所以CB=.由余弦定理可得CB2=AB2+AC2-2AB?AC?cos45°，设b=x，代入a=1，有10=4+x2-2?2x?cos45°.因为x=b≥0，所以x=3（x=-舍去），即b=3.　　反思：例2涉及向量的数量积和向量的模的运算.解析一直接利用公式a?b=a?b?cosθ与b2=b2求出答案.解析二通过建立坐标系，把问题转化为坐标运算；解析三根据题设信息构造三角形，运用余弦定理来求解.不同的解法有不同的优点，套用一句广告语：“总有一款适合你！”　　解完一个题以后，我们最好想一想：命题

8、的逆命题是否成立？题中有没有蕴含规律性的内容？问题经过拓展，能否得到一般性的结论？养成这种“打破砂锅问到底”的习惯，有助于提升思维深度，提高认知水平.7　　例3[2011年高考数学山东卷（理科）第22题第（