求变量取值范围的基本思路

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1、求变量取值范围的基本思路　　求一个变量的取值范围或最大（小）值，是中学数学学习中一类常见的问题.该类问题在各省市的高考试题中出现的频率较高，许多省市的高考试卷中涉及该类问题的题目所占的分值，几乎接近卷面总分的30%。因此，解答好该类题目对高考数学取得好成绩显得尤为重要。　　这里所说的变量往往是一个变化的实数。它还可以用其他方式体现出来，如代数式、距离、斜率、面积、体积、角，等等。　　求一个变量的取值范围和求它的最大（小）值的思路基本上是相同的。如果能求出一个变量的取值范围，则很容易得到它的最大（小）值。　　求一个变量的取值范围或最大（小）值的问题往往可以从以下三个角度分析和解决。　　一、

2、几何法　　几何法即把所求问题中的条件和结论都理解成几何图形或直角坐标平面中的某些量，然后利用图形中的所求变量的变化规律，得到所求变量的取值范围。例如现行中学教材中的线性规划问题本质上就是把二元一次不等式组表示为直角坐标系中相应的平面区域，把线性目标函数理解为其相应的直线在坐标轴上的截距加以解决。　　例1：在（0，2π）内，求使sinx>cosx成立x的取值范围。　　分析：解决该问题只需要把函数y=sinx和y=cosx在（0，2π）内的图像画出来，通过观察图像即可得到x的取值范围。3　　例2：求抛物线y=-x上的点到直线：4x+3y-8=0距离的最小值。　　分析：在直角坐标系中分别画出抛

3、物线y=-x和直线4x+3y-8=0，通过图形容易得到和抛物线y=-x相切且与直线4x+3y-8=0平行的切线的切点到该直线的距离最小。利用导数求出切点坐标，然后利用点到直线的距离公式即可求得。　　二、不等式法　　不等式法就是如果能利用题目的条件得到所求变量的不等式或不等式组，那么该不等式或不等式组的解集即为所求变量的取值范围。　　例3：函数f（x）=ax+3x-x-1在（-∞，+∞）上是减函数，求a的取值范围。　　分析：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，即f（x）的导数f′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立。而f′（x）≤0是关于x的二次不等式，要使它对于任意的x都成立，就容易得

4、到一个关于a的不等式组，那么该不等式组的解集即为a的取值范围。　　例4：已知直线l：y=kx+1与双曲线：2x-y=1右支交于不同的两点，求k的取值范围。　　分析：联立y=kx+1与2x-y=1消去y得到一个x的二次方程，这个方程的根就是两个交点的横坐标，而且它们都大于零，根据二次方程的判别式和根与系数的关系，就容易得到一个k的不等式组，它的解集即为所求k的取值范围。　　三、函数法3　　所谓函数法就是首先建立一个函数模型，即根据题目条件把所求的变量表示为另一个变量的函数，那么这个函数的值域就是所求变量的取值范围，函数的最大（小）值就是所求变量的最大（小）值。　　例5：已知直线l过点P（2

5、，1），且交x正半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值，并求出此时直线l的方程。　　分析：因为直线l过定点P（2，1），l是随着它的斜率的变化而变化的，所以△AOB的面积就是随着直线l的斜率变化而变化的。通过设l的斜率，把l的方程表示出来，从而分别得到点A的横坐标与点B的纵坐标与l的斜率的关系，然后把直角△AOB的面积表示为直线l斜率的函数。最后利用基本不等式或者导数的方法求该函数的最小值即可。　　例6：用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个长方体型铁盒，求所做的铁盒容积最大值。　　

6、分析：因为所求长方体型铁盒的容积是随着被截去的小正方形的边长的变化而变化的，所以可设小正方形的边长，利用长方形的体积公式，把铁盒的容积表示成小正方形边长的函数，然后利用导数的方法求该函数的最大值即可。　　当然，以上仅仅给出了求一个变量的取值范围或最大（小）值的基本思路，要具体解决该类问题还需要具备一定的数学知识和方法才能完成。　　或许，求一个变量的取值范围还有其他方法，但是现行高中数学中该类问题大都可以从以上三个角度之一分析解决。3