初中数学竞赛精品标准教程及练习47配方法(1)_设计

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(47)配方法一、内容提要 1.配方:这里指的是在代数式恒等变形中,把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式(a±b)2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种:①由a2+b2配上2ab, ②由2ab配上a2+b2, ③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题,初中阶段主要有:①用完全平方式来因式分解例如:把x4+4因式分解.原式=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=……   这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式

2、:,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如:化简.我们把5-2写成2-2+3=-2+=(-)2.这是由2ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值,方法之一是运用实数的平方是非负数,零就是最小值.即∵a2≥0,∴当a=0时, a2的值为0是最小值.例如:求代数式a2+2a-2的最值.∵a2+2a-2=a2+2a+1-3=(a+1)2-3当a=-1时,a2+2a-2有最小值-3.  这是由a2±2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零,则每一个非负数都是零,有时就需要配方.例如::求方程x2

3、+y2+2x-4y+5=0的解x,y.解:方程x2+y2+2x-4y+1+4=0.配方的可化为 (x+1)2+(y-2)2=0.  要使等式成立,必须且只需.解得  此外在解二次方程中应用根的判别式,或在证明等式、不等式时,也常要有配方的知识和技巧.二、例题例1.因式分解:a2b2-a2+4ab-b2+1.解:a2b2-a2+4ab-b2+1=a2b2+2ab+1+(-a2+2ab-b2) (折项,分组)=(ab+1)2-(a-b)2      (配方)=(ab+1+a-b)(ab+1-a+b) (用平方差

4、公式分解)  本题的关鍵是用折项,分组,树立配方的思想.例2.化简下列二次根式:①;   ②;    ③.解:化简的关键是把被开方数配方①====2+.②=====.③== ====2-.例1.求下列代数式的最大或最小值:   ① x2+5x+1;  ② -2x2-6x+1.解:①x2+5x+1=x2+2×x+-+1=(x+)2-.∵(x+)2≥0,其中0是最小值.即当x=时,x2+5x+1有最小值-.②-2x2-6x+1=-2(x2+3x-)=-2(x2+2×x+-)=-2(x+)2+∵-2(x+)2≤0

5、,其中0是最大值,∴当x=-时,-2x2-6x+1有最大值.例2.解下列方程:①x4-x2+2xy+y2+1=0; ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解:①(x4-2x2+1)+(x2+2xy+y2)=0.(折项,分组)   (x2-1)2+(x+y)2=0.      (配方)根据“几个非负数的和等于零,则每一个非负数都应等于零”.     得 ∴或②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2-2y+1=0.(折项,分组)(x+y)2+6(x+y)+9+y2-2y+1=0.(x+y+3)2+(y

6、-1)2=0.      (配方)∴  ∴例1.已知:a, b, c, d都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2, 则mn也可以表示为两个整数的平方和,试写出其形式.     解:mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2-2abcd(分组,添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例2.求方程 x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解:x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)(x-4)2+(y+5)2=

7、25    (配方)∵25折成两个整数的平方和,只能是0和25;9和16.∴由得同理,共有12个解……三、练习471.因式分解:①x4+x2y2+y4;  ②x2-2xy+y2-6x+6y+9;  ③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式:① (-<x<);   ② (1

8、已知:a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求:a+b+c的值. 6.已知:实数a,b,c满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式值的正负. 7.已知:x=.求:. 8.已知:a2+c2+2(b2-ab-bc)=0.求证:a=b=c.9.解方程:①x2-4xy+5y2-6y+9;②x2y2+x2+4xy+y2+1=0;③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整数解:

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