初中数学竞赛精品标准教程及练习47：配方法

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（47）配方法一、内容提要　1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式（a±b）2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a2+b2配上2ab，　②由2ab配上a2+b2，　③由a2±2ab配上b2.2.运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝……　　　这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：，这就需

2、要把被开方数写成完全平方式.例如：化简.我们把5－2写成2－2＋3＝－2＋＝（－）2.这是由2ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时，　a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a－2的最值.∵a2+2a－2=a2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3.　　这是由a2±2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+

3、5=0的解x,y.解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为　（x+1）2+(y－2)2=0.　　要使等式成立，必须且只需.解得　　此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题例1.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)　（折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2　　　　　　（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)　（用平方差公式分解）　　本题的关鍵是用折

4、项，分组，树立配方的思想.例2.化简下列二次根式：①；　　　②；　　　　③.解：化简的关键是把被开方数配方①＝＝＝＝2＋.②＝＝＝＝＝.③＝＝　＝＝＝=2－.例1.求下列代数式的最大或最小值：　　　①　x2+5x+1；　　②　－2x2－6x+1.解：①x2+5x+1＝x2+2×x+－+1＝（x+）2－.∵（x+）2≥0，其中0是最小值.即当x=时，x2+5x+1有最小值－.②－2x2－6x+1＝－2（x2+3x-）=－2(x2+2×x+－)＝－2（x+）2+∵－2（x+）2≤0，其中0是最大值，∴当x=－时，－2x2

5、－6x+1有最大值.例2.解下列方程：①x4－x2+2xy+y2+1=0；　②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组）　　　(x2－1)2+(x+y)2=0.　　　　　　（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.　　　　　得　∴或②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.(折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y－1)2＝0.　　　　　　（配方）∴　　∴例1.已

6、知：a,　b,　c,　d都是整数且m=a2+b2,　n=c2+d2,　则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.　　　　　解：mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2－2abcd(分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例2.求方程　x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25(添项)（x－4）2+(y+5)2＝25　　　　（配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和2

7、5；9和16.∴由得同理，共有12个解……三、练习471.因式分解：①x4+x2y2+y4；　　②x2-2xy+y2-6x+6y+9；　　③x4+x2-2ax-a2+1.2.化简下列二次根式：①　（－＜x<）；　　　②　(1

8、的值.　6.已知：实数a,b,c满足等式a+b+c=0,abc=8.试判断代数式值的正负.　7.已知：x=.求：.　8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0.求证：a=b=c.9.解方程：①x2-4xy+5y2-6y+9；②x2y2+x2+4xy+y2+1=0；③5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整数解：