初中数学竞赛精品标准教程及练习37不等关系(1)_设计

《初中数学竞赛精品标准教程及练习37不等关系(1)_设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(37)不等关系一、内容提要1.不等式三个基本性质：①不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。设a>b,不等式组的解集是x>a的解集是x

2、边。②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。③在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。直角三角形中，斜边大于任一直角边。④有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和二、例题例1.已知：x≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x,　　②解：①∵x≤2，　∴两边乘以－3，得　－3x≥－6　两边加上7，　得　7－3x≥7－6∴7－3x≥1②设＝y,x+1=xy,(y－1)x=1　　x=≤2，在两边乘以y－1时，根据不等式基本性质2和3，得不等

3、式组：　　或　　　　　或∴y≥1.5　或y<1即≥1.5或＜1例2.设实数a,b满足不等式＜，试决定a,b的符号。解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变两边平方得，a2－2(a+b)+(a+b)2a，可知　a≠0，a+b≠0两边除以得，a+b>显然不等式要成立，只有，故a<0由此得a+b>－，显然只有a+b>0,又∵a<0,　　故b>0∴a,b的符号是：a<0,b>0例3.已知：O是△ABC内的一点求证：＜＜1分析：本题实质是要证明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋

4、CA①且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA②　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：①∵OA＋OB＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　OB＋OC＞BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　OC＋OA＞CA　　　　　　　　∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②延长BO交AC于D，∵AB＋AD＞OB＋OD，　OD＋DC＞OC∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC）　∴

5、＜＜1例4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D求证：CA＋CB＜AB＋CD证明：设CD＝h,　a,b,c是∠A，∠B，∠C的对边根据勾股定理，a2+b2=c2,　　∴a2+b2＜c2＋h2①根据三角形面积公式ab=ch∴2ab＝2ch②　①＋②：　（a+b）2<(c+h)2∵a+b>0,c+h>0∴a+b0,a－c<0,c－b>0(直角三角形中斜边大于任一直角边)∴

6、(a+b)－(c+h)＜0∴(a+b)＜(c+h)再证明：学完四点共圆后，可证CA－CD＜AB－CB在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　两等腰△BCE和△CDF顶角∠B=∠DCF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴底角∠2＝∠1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴四边形CDEF是圆内接四边形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∠EFA＝∠CDE＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AF

7、C－CD

8、＋≤例6.已知：△ABC中，AB＝AC，D是三角形内的一点，∠ADB＞∠ADC求证：∠DBC＞∠DCB分析：为使已知条件∠ADB＞∠ADC集中在一起，把△ABD绕着点A旋转，使AB和AC重合，即作△ABD的