非线性振动[刘延柱，陈立群编着]

《非线性振动[刘延柱，陈立群编着]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、绪论非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。这类现象称为振荡。例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。从最小的粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和

2、统一的数学表达形式。因此，有可能建立统一的理论来进行研究，即振动力学。振动力学是力学、声学、无线电、电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际问题提供理论依据。根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。不属于线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振

3、动理论。线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够准确地反映振动的客观规律。频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、科氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。因此，工程实际中的振动系统绝大多数都是非线性系统。由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，

4、但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐共振、内共振、跳跃现象和同步现象等实际现象作出解释。而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现。早在年美国塔可马（）吊桥因风载引起振动而坍塌的事故就是典型的非线性振动引起破坏的例子。因此，有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非线性振动问题。参数振动是一种特殊的振动形式，它的数学模型不一定是非线性微分方程，也可能是线性的，但系数不是常数，

5、而是时间的周期函数，因此不属于线性振动理论的研究范围，也作为非线性振动的组成部分。非线性振动的研究方法非线性振动理论的研究目的是基于非线性振动系统的数学模型，在不同参数和初始条件下，确定系统运动的定性特征和定量规律。非线性振动系统的数学模型为非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线性微分方程尚无普遍有效的求解方法，很难得到精确的解析解。对于工程中的实际非线性振动问题，除采用实验方法进行研究以外，常用的理论研究方法为：几何方法、解析方法和数值方法。几何方法是研究非线性振动的一种定性分析方法。传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动过程的直观描

6、述。在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的研究，是传统几何方法讨论的主要内容。几何方法的局限性是不能得到非线性振动的定量规律，而且传统的几何方法通常难以推广到高维时变系统。尽管如此，几何方法仍在非线性振动研究中起着重要作用。几何方法不仅能得到直观的定性结果，而且可为其他研究方法提供理论依据。在非线性振动理论的现代发展过程中，几何方法有了新的研究内容。现代几何方

7、法也研究由数学抽象所得到的人为构建的几何结构，它具有与真实非线性系统类似的性质。例如在第六章关于混沌振动的讨论中，就充分利用抽象的几何概念解释和预测非线性振动系统的一些复杂的动力学行为。解析方法是研究非线性振动的定量分析方法。即通过精确地或近似地寻求非线性微分方程的解析解，得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和初始条件的依赖关系。非线性微分方程的精确解通常涉及非初等函数（例如椭圆函数）的引入和研究。能够得到精确解的非线性系统称为可积系统，这种系统的数量极其有限。更常用的解析方法是近似解析方法。近似解析方法主要适用于弱非线性系统，即与线性系统十

8、分接近的非线性系统。通常是以线性振动理论中得到的精确解为基础，将非线性因素作为一种摄动，求出近似的解析解。最早的近似解析方法来源于天体力