在实践操作中完善想象

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1、在实践操作中完善想象　　背景介绍　　人教版教材五年级上册第97页，有一道组合图形的复习整理后的思考题，题目如下：　　为了让学习更有趣味性和探索性，笔者在课前为每位学生准备了一张长方形纸条和三张树形图，这些图形都是笔者用几何画板精确画出来的，并再按比例缩小。　　这里的第1小题是求小树这个组合图形的面积，从上到下分别由一个三角形、两个梯形和一个长方形组成，学生在计算时不会有什么问题。第2小题是求大长方形里面剪几个这样的小树，按照以前计算的习惯，一般都会把长方形的面积除以小树面积，果然，有不少学生算出能剪19棵小树。为了让

2、学生更清楚地知道实际上是剪不下19棵小树的，笔者让他们去摆一摆，学生一共摆出了4种方法，具体如下图。　　当学生摆出的方法一种比一种更多时，学生的情绪一次又一次地被点燃，完全沉浸在成功的喜悦中。　　正当笔者要宣布结果时，有位学生突然叫起来：我们组摆出了10棵小树！　　“不可能吧！”笔者下意识地脱口而出。　　“我们组摆了10棵小树！不信，你来看一下。”看这情形，不好好讲解要说服他们是不行的。7　　于是，笔者请这组同学把摆好的作品放到投影上看，确实，他们组利用小组内所有的小树，在长方形纸上摆了10棵小树（见下图）。　　事实

3、胜于雄辩，看到他们组摆出的图形，所有同学都欢呼起来。这到底是怎么回事？怎么可以摆10棵呢？一定是哪里出了问题，笔者仔细地观察他们摆的这个图片，发现左右两端略微“出界”了一些，好几棵小树在他们摆了多次以后已经有些跷起来了，“树叶”之间有些重叠了。如果此时把笔者刚才的发现指给大家看，虽然他们在理智上可能会部分认同，但是在情感上是绝对不同意的。而且笔者把长方形和小树都是按一定比例缩小的，会不会在此过程中发生一点小误差呢？想到这里，笔者觉得最能说明事情的不是眼前的摆法了，而是要通过数据的计算来说服。这时，笔者故作惊讶：真的可

4、以摆10棵小树啊，为什么可以摆10棵呢？让我们来计算一下吧。　　第一次探索　　笔者在幻灯上把10棵小树紧紧地挨着，像上面一样摆出了10棵，从哪里开始计算呢？先算上下的距离，能不能摆下两棵小树：一棵小树树干部分长6cm，枝叶部分长9cm，这种摆法是2个树干的长加上1个枝叶的长，6+6+9=21（cm），与长方形的宽相等！学生非常高兴。接着怎么算这排小树的长呢？笔者把这个问题抛给学生，在一阵安静思考之后，有个学生提出，枝叶中间那一层互相连在一起，好像是一个平行四边形。　　师：是吗？　　生：是一个平行四边形！（大家一片附和

5、之声）　　师：为什么？7　　生：两个形状、大小完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（学生回答得干脆利落，想不到，梯形与平行四边形的关系在这里用得这么贴切）　　为了让全体学生都看清平行四边形，笔者特意用四条线围成平行四边形（见下图）。　　师：那么，这里由两个形状、大小完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形有几组呢？　　生：上下小树合成一组，一共有5组。　　师：每个平行四边形的底是多少？　　生：上底加下底是2+6.6=8.6（cm）。　　生：5组一共是8.6×5=43（cm），比长方形的长45cm还少2厘米。　　笔者急忙

6、把算式板书在黑板上。到这里，事情已经向预计的方向发展了。　　师：对照算式和图，现在你们觉得真的可以摆下10棵小树吗？　　生：可以。　　生：不可以。（有些学生已经看出来了）　　师：你为什么认为不可以呢？　　生：因为小树最下面的一层还没算呢！　　师：请你上来指一指，哪里还没有计算进去？　　学生上来指出了左右两端最底下一层枝叶，它们超出了平行四边形。　　生：还有一个地方没有算进去！（又一个学生插进来说）　　师：啊？还有哪里没有计算进去，也请你来指给大家看。7　　学生上来指出了平行四边形的上底比下底倾斜出的部分。　　师：原来

7、平行四边形的底并不能代表整个平行四边形的长度，还要加上这个倾斜的长度，这里是多少长呢？两头的还有一些没有计算进去的是多少呢？（笔者把三处还没有计算的地方圈出来，见下图）　　生：最底层比中间层多出了4-3.3=0.7（cm），两端就是0.7×2=1.4（cm），枝叶部分拼起来总长度还要增加3.3-1=2.3（cm）。一共要增加1.4+2.3=3.7（cm）。　　生：43+3.7=46.7（cm），比长方形的长45cm多了1.7cm。　　师：这个结果让人觉得有点沮丧，可是，虽然不能够摆10个，但是肯定可以摆出9个，也是比

8、刚才的8个进步了不少呢！如果没有刚才的理论计算，我们还不知道能摆出9个呢！刚才这组同学很爱动脑筋思考，非常值得大家学习，那么他们摆出来的小树为什么看起来好像有10棵呢？　　这时，笔者相信，他们已经心服口服了，这多亏了理论计算和实践拼摆的完美融合。　　师：嗯，数学中很多事情看起来好像是正确的，其实通过计算，我们会发现有很多错误的地方，数学就是需要