整体思想的应用技巧

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1、整体思想的应用技巧　　在解数学问题时，将问题看成一个整体，研究整体结构，达到简捷解决问题的目的，这就是整体思想.下面以中考题为例，谈谈整体思想的应用.　　一、整体代换在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，直接代入另一个式子，从而避免局部运算的麻烦与困难.　　例1（2012年金华卷）如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式x2-y2的值是.　　解：∵x+y=-4，x-y=8，　　∴x2-y2=（x+y）（x-y）=（-4）×8=-32.　　温馨小提示：利用整体代换解题，关键是找到“整体”.　　二、整体把握有些问题，表

2、面上要求出所有量的值.若从整体上把握量与量之间的关系，如从反面思考问题，思路会更明确，方法更巧妙.　　例2（2012年泰安卷）1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有个.　　分析：本题要求无理数的个数，比较复杂.从问题的整体看，分别找出1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，则无理数的个数唾手可得.　　∵12=1，22=4，32=9，…，102=100，　　∴1，2，3，…5，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，无理数有90个.　　∵13=

3、1，23=8，33=27，43=64100，　　∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，无理数有96个.　　∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个.　　温馨小提示：填空题，不需要写出解题过程，解题速度是考试成功的重要因素.从整体上把握问题是简捷解本题的关键.　　三、整体设元把所求的式子用字母表示后，问题转化为求字母的值，这种整体思考问题的方法就是整体设元.　　例3（2012年黄石卷）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快

4、速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050.今天我们可以将高斯的做法归纳如下：　　令S=1+2+3+…+98+99+100，①　　S=100+99+98+…+3+2+1.②　　①+②得2S=（1+100）×100，解得S=5050.　　请类比以上做法，回答下列问题：　　若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=.　　解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168，①　　则S=（2n+1）+…+7+5+3=168.②　　①+②得2S=n（2n+1+3）=2×168，　　整理得n2+2n-168=0，解

5、得n1=12，n2=-14（舍去）.5　　故答案为12.　　温馨小提示：本题考查有理数的混合运算，需读懂题目提供的信息，整体设元，列方程求解.　　四、整体补形整体补形，就是将问题中的图形（规则图形或非特殊图形）经过添加辅助线以后，转化为特殊图形，让问题中的隐含条件显露出来，从而求解.　　例4（1）（2012年乐山卷）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图1所示的零件，则这个零件的表面积为.　　（2）（2012年山西卷）如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC.把△ABC绕点

6、A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（结果保留π）.　　解：（1）从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积，通过补形就等于原正方体表面积，所以挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24.　　（2）将阴影部分B′CB补到B′C′D的位置，因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，则AC=BC=，S阴影=S扇形AB′D-S扇形ACC′==.　　温馨小提示：这里从整体思考，分别利

7、用平移补形和旋转补形，得到的解法十分简捷.　　五、整体联想5整体联想就是从整个问题着手思考，联想常见的数式、图形等，寻找解决问题的最佳途径.　　例5（2012年黔南卷）如图3，?A和?B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图像上，则阴影部分的面积等于（结果保留π）.　　解：图形中有两个与等圆相关的图形，根据反比例函数的对称性和圆的对称性，可将阴影部分面积转化为一个圆的面积.因为?A和x轴y轴相切，因而点A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等，设A（a，a），点A在函数y=的图像上，因而a=1，故阴影部分的面积等于

8、π.　　温馨小提示：寻求各部分之间的整体联系是解题思路的升华.整体联想往往可以另辟蹊径，简捷解题.　　六、整体合并就是指整体运算，减少中间过程，达到快速解题的目的.　　例6（2012年达州卷）若关于x、y的二元一次方程组2x+y=3k-1，　　x+2y=-2的解满足x+y??