取“好”函数 巧比大小

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1、取“好”函数巧比大小　　导数工具是解决不等式、函数等问题的利器，而导数工具是否真正有效，关键在于所取的函数是否足够“好”，因为并不是所有问题，只要求导就能立竿见影.下面仅谈如何构造“好”函数，用求导来比较大小.　　例1已知a=ln-，b=ln-，c=ln-则（）　　A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a　　分析根据a，b，c的结构特点，构造“好”函数f（x）=lnx-x，再求导.　　解构造函数f（x）=lnx-x，则f′（x）=-1=，由f′（x）>0，解得0

2、ln->ln->ln-.　　即a>b>c.故选A.　　例2当x≠0时，有不等式（）　　A.ex<1+x　　B.ex>1+x　　C.当x>0时ex1+x　　D.当x0时ex>1+x　　分析从选项可知比较ex与1+x大小，可通过移项后，构造“好”函数f（x）=ex-1-x，再求导解决.4　　解构造函数f（x）=ex-（1+x），则有f′（x）=ex-1.　　当x>0时，有f′（x）>0，即此时为增函数；　　当x<0时，有f′（x）<0，即此时为减函数.　　所以f（x）min=f（0）=0.　　因此当x≠0时，有f（x）>0恒成立，即ex>1+x.故选B.　　例

3、3已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b　　分析由已知条件，可联想到积的导数（xf（x））′=xf′（x）+f（x），于是构造“好”函数g（x）=xf（x），问题就可解决.　　解由f（x）是奇函数，则有　　xf′（x）

4、xf（x），知g（x）是（-∞，0）上的减函数，　　而g（x）是偶函数，所以g（x）是（0，+∞）上的增函数.　　又a=g（），b=g（1），c=g（log2）=g（-2）=g（2），　　所以c>a>b.故选A.　　例4f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≤0，对任意正数a、b，若a

5、解构造函数F（x）=，则F′（x）=，故F（x）=在（0，+∞）上是减函数，由ae2f（0），f（2013）>e2013f（0）B.f（2）e2013f（0）　　C.f（2）>e2f（0），f（2013）

6、　　由于f（x）0对任意x∈R恒成立，所以h（x）在R上为增函数.　　h（2）=>h（0）==f（0），即f（2）>e2f（0）.　　同理，h（2013）=>h（0）==f（0），即f（2013）>e2013f（0）.　　故选A.　　例6已知n为正整数，比较ln（+1）与-的大小.　　分析由于n为正整数，只需令=x，则问题转化为：当x>0时，比较ln（x+1）与x2-x3的大小，现构造“好”函数h（x）=x3-x2+ln（x+1），求导即可.　　解令h（x）=x3-x2+ln（x+1），　　则h′（x）=3x2-2x+=在x∈（0，+∞）上恒正，4　　所以

7、函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（0，+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0　　即x3-x2+ln（x+1）>0，所以ln（x+1）>x2-x3.　　对任意正整数n，取x=∈（0，+∞），则有ln（+1）>-.　　例7设函数f（x）=x2ex-1-x3-x2，设函数g（x）=x3-x2，试比较f（x）与g（x）的大小.　　分析先作差有f（x）-g（x）=x2ex-1-x3，得到的函数比较复杂，通过分解，可智取函数h（x）=ex-1-x，从而求导解决.　　解由于f（x）=x2ex-1-x3-x2，g（x）=x3-x2，　　则f（x）-g（x）=x

8、2ex-1-x3=x2（ex-1-x）.　　又由于x2≥0，令h（