概率统计中“伽马分布”的教学研究及探讨

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1、概率统计中“伽马分布”的教学研究及探讨　　摘要：讨论了伽马分布的性质，给出伽马分布的三个特例及中心极限定理形式，并利用极限分布，得到n充分大时x2（n）分布和n阶爱尔朗分布的上α分位点的近似计算公式.最后，应用伽马分布给出了指数分布参数的置信区间并给出了应用实例。　　关键词：伽马分布；性质；极限分布；上分位数　　中图分类号：O211.1？摇文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）02-0057-02　　一、引言　　伽马分布是概率统计中一类重要的分布，它和指数分布、x2分布、爱尔朗（Erlang）分布等一些常见的重要分布

2、都有着密切的联系。张永利[1]通过伽马分布的可加性得到了构造卡方分布和均匀分布的方法，本文将通过对伽马分布的特征函数进行研究，从特征函数出发，推导伽马分布关于尺度参数的可加性，研究伽马分布及其三个特例的数字特征，以及强度为λ的泊松流的第n个事件出现时所需要时间长度的分布问题，应用伽马分布推导指数分布参数的区间估计形式，并给出应用实例。　　定义1.1[2]若随机变量X具有概率密度　　f（x）=■xα-1e-βxx>0，0x≤0.　　其中α>0，β>0，则称X服从参数为α，β的伽马（Gamma）分布，记为X～？祝（α，β）；α称为形状参

3、数，β称为尺度参数；？祝（α6）=■xxα-1e-xdx为？祝函数，伽马分布因此而得名。？祝函数具有以下基本性质[1]：？祝（α+1）=α？祝（α），？祝（1）=1，？祝■=■，特别，当对于n取自然数，有？祝（n）=（n-1）！.　　伽马分布的概率密度f（x）是单峰函数，当α>1时，f（x）在x=（α-1）/β处达到最大值，在α<1时，纵轴为f（x）的渐近线。　　二、伽马分布的特例　　设X～？祝（α，β），当α，β取某些特殊值时，伽马分布可变为一些常见的分布.　　（1）当α=1，β=λ时，即X～？祝（1，λ），由？祝（1）=1可知X

4、的概率密度为　　f（x）=λe-λxx>0，0x≤0.　　表明X服从参数为λ的指数分布，可见指数分布是伽马分布的一个特例。　　（2）当α=■，β=■时，即X～？祝■，■，X的概率密度为f（x）=■x■e■x>0，0x≤0.　　这也是自由度为n的x2分布随机变量的概率密度，所以X～x2（n），由此可见x2分布也是伽马分布的一个特例。　　（3）当α=n，β=λ时，即？祝（n，λ），由？祝（n）=（n-1）！可得　　f（x）=■x■e■■x>0，0x≤0.　　此分布称为参数为n和λ的爱尔朗（Erlang）分布[4]。爱尔朗分布被广泛应用于

5、排队论与可靠性理论中，它描述了强度为λ6的泊松流的第n个事件出现时所需要时间长度的分布。爱尔朗分布是伽马分布的一个特例，而指数分布又是爱尔朗分布的一个特例，阶数n=1的爱尔朗分布即为指数分布。　　三、伽马分布的基本性质　　命题3.1设随机变量X～？祝（α，β），则X的特征函数φ（t）为φ（t）=1-■■.　　证X的特征函数φ（t）为：φ（t）=E（eitX）=■eitxf（x）dx=■■xα-1e-（β-it）xdx，令（β-it）x=u，则上式化为　　φ（t）=■■■■uα-1e-udu=■■■？祝（α）=1-■■　　命题3.2伽

6、马分布具有可加性，即若随机变量X～？祝（α1，β），Y～？祝（α2，β），且相互独立，则X+Y～？祝（α1+α2，β）.　　利用伽马分布的特征函数证明可加性非常方便。　　证由特征函数的性质可知，X+Y，Y与X的特征函数满足φX+Y（t）=φX（t）φY（t），　　由命题3.1可得，可以得到X+Y的特征函数为　　φX+Y（t）=1-■■1-■■=1-■■1-■■　　具有这种形式的特征函数的随机变量服从参数为α1+α2，β的伽马分布，故X+Y～？祝（α1+α2，β）.　　由命题3.2知，两个具有相同尺度参数的相互独立伽马变量之和仍服从伽

7、马分布，即伽马分布关于形状参数具有可加性.此可加性对有限个具有相同尺度参数的相互独立的伽马分布变量的情形也是成立的。　　命题3.3具有参数为n和λ6的爱尔朗分布的随机变量可以分解为n个相互独立的具有相同参数λ的指数分布的随机变量之和。　　证设X1，X2，Λ，Xn相互独立，且都服从参数为λ的指数分布.由指数分布与伽马分布的关系可知Xt～？祝（1，λ）（i=1，2，L，n），再由命题3.2可得　　X1+X2+L+Xn～？祝（n，λ），　　即？祝（n，λ）分布可以分解为n个相互独立的分布参数为λ的指数分布的随机变量之和。　　命题3.4设X

8、～？祝（α，β），则　　E（xk）=■.　　证X的特征函数为φ（t）=1-■■，所以X的k阶矩为　　由命题3.4可知，若X～？祝（α，β），E（X）=α/β，E（X2）=α（α+1）/β2，由此可得X的方差为D（X）=α/β2.特别对