伽玛函数和贝塔函数在概率统计中的应用

《伽玛函数和贝塔函数在概率统计中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、万方数据2009年3月‘电大理工StudyofScienceandEngineeringatRTVU。第1期憨第238期伽玛函数和贝塔函数在概率统计中的应用周占杰铁岭师范燕等专科学校《铁岭112000)攘要首先通过伽玛萎数和贝塔豳数的定叉及挂质；然后将他们藏建刭概率统霉十申．捌如一些常见分布的数字特征：数学期望，方羞等以及一些常见分布密度函数的推导．最后给出他们在Bayes统计应用及概率统计证明问题．关键词伽玛函数及癸塔函数Bayes话诤伽玛分奉正态分带0引言下藤我们证明结论(4)在高等数学及概率统计中，经常会糟到伽玛r(口)；fx"-'e-'dx：r矿。t旷一tP

2、一缈卢够函数和贝塔函数这两个熟悉的名字，但是关于这一“嚣个函数性质及详细的应用却缀少提及，然丽这(这里换元：两个函数在积分运算中经常起到意想不到的简y=去x)=矿fJ，州P一缈咖=∥“fJ”分厨出便效果。也毒一些文黻讨论它髫】在积分运算藉概，率统计中的应用，但是篇幅太少，并没有详细的(这里应用积分与积分变量无关的性质)·介绍。本文将对这两个函数在概率统计枣鲍应用最艨我们证明性质：(5)给出详细的介绍并推导出一些有用的结论。r缸)=f矿‘’P-‘斑=f(_声ln：广+‘z尹(一≥出引理1．1伽玛瞒数具有如下性质：一羔(1j联栉+l净l(nero(这里换元：y2妒芦)·

3、(2)r似+1)=-口r(∞=r∥“一’z声(一Inz)4～dz=夕“l_x4—1(一Inx)4+1dx(3)r(i／2)=√彤(这里应瘸积分与积分变量无关的性质)(4)r(搿)：夕口fx,,4e-a,dx引理1·2贝塔函数具有如下性质；～(1》联绣醐魏砖(5)r@)=∥口rx多一1(一lnx)口一‘dx(2)贝塔函数与伽玛函数的关系：“嚣(矾6)：￡!121112诞鳃；关予翦三个缭论麓证明在大鄢分数学

4、豫+妨书上都有。这里略去。(3)艿(口’卜口)：—r(—a)磊rO_-一a)：÷(口>o)万方数据．60．电大邂工总第238期通过借用这两个积分，可以经常简化我们的

5、积分运算；铡1：对正数玩6有；O-lxcoS6-‘融=三1眄睾)=三酉r(gr(9证明；令t=sinx，则扫嬲洫厶缸意1出棚。口-Ix∥磁=髀h2煳《㈣毛鬻注：我们在高等数学中讲此类被积函数的积分时，对绣6都为正整数的情形，分三种情况讨论它的不定积分的求法：当巩6中有一个为奇数时(两种情形)利用分部积分；当口，6都为偶数时，剩鬻半角公式进行降幂，但都比较繁琐。特别是当a=3，b=l或a=l。b=3时，定积分fsin2粼&及fCOS2溉&这个积分，我们在高等数学教材中讲解定积分作为例题出现，在定积分麴换元法时求解e<了魂羹季，令x=asint，f∈【o，妥】时，最后转

6、化为计算fcos2础，以及在求椭圆的面积时，也转化秀计算fCOS2xdx，焉p磁=三1紫=三然碗，熟悉他们，并尝试在概率统计中一些数字特征运算推导过程中使用他们，会有意想不到的结柴，使我们的计算过糕简洁明了。引理{．3设隧祝变量X服麸控普拉斯分布，若其密度函数为：／(x)=去P州，XER则；肼。嘏：≥麓；数学期望EX=0；Var(X)=2证明：以‘=e≯专制出=吾e≯一出J_∞一)’工。注意到，当露是奇数时，因为被积涵数是奇函数，所以积分等于0，这时我们得到：EX‘=O，k黑l，3，5，．··当k是偶函数对，因势被积函数避偶函数，且广义积分FX。e-txl出绝对收敛

7、，所以有：．E酽：娄[√t已——协：f√o—矗。I诳+1)=越七=2'4焉⋯'hh、’引理1．4设随机变量x服从参数为口的麦克斯韦(Maxwell)分布，若其概率密度函数为：m，：j赤也叫2撕2∥ol0，x≤0其中口>0为常数，则数学期望EX=丝q露证明：Ⅸ=和帮4，嗑出=彘薹∥眩出做变量代换；=t得a‘EX=20te”re_t魂=篑m，=鲁零

8、理1．5设莲规变爨X暇扶参数隽口>O，∥>0的伽玛分布Gamma(a，∥)：万方数据筹l蘩援砉杰：翻玛丞数弱贸塔螽装在概率统嚣孛豹藏鹰。61．M=怎∥一枷嬲#EX；芳；麓渤Ⅸ净2嚣Var(X)∞-F窿；EX2=专等’透明。斟

9、=譬尊备V协％p吖。出矿r(k+口)1n(七+a)：兰—___一___“=⋯-—一：；_嘲訾+一r(口)矿”∥r(口)特别瓣，警k嚣l辩，我粥舂数学鬻望：厨：三翌．型；罢∥r(a)∥协t童黔c科李等～芳2警～等季≤1)当a=l醇，随辊交爨X毅姨参数必箩麓指数分稚鼠国，其数学期望为：EX。上，方差为：§Var(X)m古’矩：EX‘=参o)当搿=in，声=喜黠，随橇变量爿黻获耋蠹度为雅豹卡方分布岩2≤彩。箍一般豹概率统计教材通常采用如下的定义；若髓飙变量置，⋯，五棚誊独立，郡赧双正薹在Bayes统计孛懿应震‘我们下面以两参数广义指数分布为例，说明擞玛函数在Bayes