微分方程解析近似解的符号计算研究

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1、www.yitaDtao.net论文发表专家微分方程解析近似解的符号计算研究【摘要】：本文基于数学机械化思想,借助于符号计算软件，以非线性方程为对象，系统地研究了适用于强非线性问题的解析近似方法：Adomian分解方法(ADM)和同伦分析方法(HAM)的应用和机械化实现。第一章是与本文相关的研究背景。简要综述了计算机代数和孤立子理论的发展进程,针对性地介绍了近年来解析近似方法的研究成果和现状。第二章改进了Adomian分解方法，能够获得修正Korteweg-deVries(mKdV)方程和Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的

2、双孤子解。通过引入自变量变换和行波变换，将Degasperis-Procesi(DP)方程短波模型化为常微分方程，应用Adomian分解方法求解之,获得其闭合形式的解析解,再经过反变换，能够获得其环状孤子解。以上结果表明了Adomian分解方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。对Adomian分解方法进行了推广，解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题，并与Pade近似结合，能够获得几个经典的非线性微分差分方程组的孤子解，显著提高了方程解析近似解的精度。同时，我们还讨论了Pade有理近似中出现的伪极点问题，给出了合适选择Pade近似阶数的指

3、导原则。获得的解析近似解与精确解符合得很好，表明了Adomian分解方法对复杂强非线性问题的有效性。第三章通过引入自变量变换和行波变换，将偏微分方程化为常微分方程，通过同伦分析方法求解之，再经过反变换，能够获得DP方程短波模型的环状孤子解和Camassa-Holm(CH)方程短波模型的尖状孤子解，结果表明了同伦wwwyffab怕o.net_论文发表专家分析方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。对同伦分析方法进行了推广，解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题，改进了同伦分析方法选择初始猜测解的方法，能够获得离散修正KdV方程的亮孤子解，获得

4、的解析近似解与精确解符合得很好，表明了同伦分析方法对复杂强非线性问题的有效性。第四章在计算机代数系统Maple上实现了Biazar提出的求解Adomian多项式的算法，编制了构造微分方程（组）和积分方程（组）解析近似解的自动推导软件包,这个算法避免了Adomian多项式的计算膨胀问题，降低了计算难度并显著提高了计算速度，通过大量实例说明了该软件包的有效性和实用性。【关键词】:微分方程微分差分方程解析近似解符号计算孤立子【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2010【分类号】:0175【目录】:摘要6-7Abstract

5、?-11第一章绪论11-181.1数学机械化与计算机代数12-131.2孤立子理论13-141.3求解非线性方程的解析近似方法14-161.3.1Adomian分解方法14-151.3.2同伦分析方法15-161.4木文的选题和主要工作16・18第二章Adomian分解方法在非线性系统屮的应用18-592.1Adomian分解方法求解非线性微分方程18-322.1」基本原理简介18-202.1.2修正KdV方程及其双孤子解20-242.1.3KP方程及其双孤子解24-292.1.4Degasperis-Procesi方程的短波模型及其环状孤子解2

6、9-322.2Adomian分解方法求解非线性微分差分方程组个易找衣冉-a%厲www.yiTabiao.net_论文发表专家32-562.2.1基本原理简介32-342.2.2Pade近似基本原理简介34-362.2.3Belov-Chaltikian格方程及其孤子解36-412.2.4非线性自偶网格方程及其扭状孤了解41・48225Blaszak・Marciniak3・场格方程及其孤子解48-512.2.6Blaszak-Marciniak4-场格方程及其孤子解51-562.3本章小结56-59第三章同伦分析方法在非线性系统中的应用59-813

7、.1基本原理简介59-613.2同伦分析方法求解非线性微分方程61-743.2.ICamassa-Holm方程的短波模型及苴尖状孤子解61-673.2.2Degasperis-Procesi方程的短波模型及其环状孤了解67-743.3同伦分析方法求解非线性微分差分方程74-803.3.1离散修正KdV方程及其孤子解74-803.4本章小结80-81第四章Adomian分解方法软件包BZAdm81-944.1基本原理简介81-834.2算法描述834.3BZ算法在Maple系统上的实现:BZAdm软件包83-854.3.1求解微分方程（组）的模块及

8、其功能844.3.2求解积分方程（组）的模块及其功能84-854.4BZAdm软件包的应用85-914.4.1微分方程（组）的求解85-