8版高中数学（人教a版）必修同步教师用书：第章.3.平面与平面垂直的判定

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1、2.3.2　平面与平面垂直的判定1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)[基础·初探]教材整理1　二面角阅读教材P67“练习”以下至P68“观察”以上的内容，完成下列问题．1．定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图2313)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：αABβ，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作αlβ或PlQ.图2313

2、2．二面角的平面角(1)定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，如图2314所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(2)直二面角：平面角是直角的二面角．图2314如图2315，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于________．图2315【解析】　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.∴二面角BPAC的大小为90°.【答案】　90°教材整理2　平面与平面垂直的判定阅读教材P68“观察”以

3、下至P69“例3”以上的内容，完成下列问题．1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：图2316记作：α⊥β.2．判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)A．m⊥n，m∥α，n∥β　　B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】　因为m∥n，n⊥β，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β，所以C正确．【答案】　C[小组合作型]二面角　如图2317，在正方体ABCDA1

4、B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．图2317【精彩点拨】　解答本题的关键是作出二面角的平面角，利用△BA1C1与△B1A1C1均为等腰三角形，根据二面角的平面角定义可作出平面角求解．【自主解答】　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角BA1C1B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，所以二面角BA1C1B1的正切值为.1．求

5、二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．2．为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．[再练一题]1．在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，求二面角VABC的大小.【解】　如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB，取AB中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面VHO，∴AB⊥OH，∴∠VHO为二面角VABC的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝()2－2＝4，∴

6、VH＝2.而OH＝AB＝1，∴∠VHO＝60°.故二面角VABC的大小是60°.平面与平面垂直的判定　如图2318，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：图2318(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩点拨】　(1)要证DE＝DA，只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线．【自主解答】　(1)取EC的中点F，连接DF.∵E

7、C⊥BC，易知DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊EC，∴MN∥BD，∴N点在平面BDMN内．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BD綊EC，MN綊EC.∴MNBD为平行四边形．∴DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.