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《量子力学测试题(中科大2003)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、量子力学测试题(1)(中科大2003)一、试证明：(1)投影算符P=xn是厄密算符；它在任意态"＞中的平均值是正定的，即(2)设
2、肖＞是归一化波函数，对于线性厄密算符A以下等式成立ihd=<[A,H]>+z^<—>odtdt证明：(1)因为=(xny=xn=P所以P是厄密算符或v妙
3、P
4、0>==<(p>5、屮>=<(pPy/>==6、7、2>0(2)因为vA＞=v?A妙〉则dtdt,2+以讐孰再由S・eq得8、厉字二〈［4,丹］〉+彳竽因为A=jy/Ay/dx所以dx+dt=J0HAy/dx+yji//'AHy/dx+j旷^y/dx二丄”(AH_HA)艸+fi//^~^dxiti」Jdt即涪警L〈［A,H］)+疇二、对于一维谐振子，求消灭算符。的本征态9、0＞,将其表示成各能量本征态E＞的线性叠加。已矢口a10、n.>=VhI/7-1>o解：设a>=^Cn>n=0888得aa>=工C”a>=为Iaz-1>=Q工C“11、n>n=Qn=0/i=0以12、左乘上式并利用V仆>=5心得依次递推得由归一化条件vqs>=y13、c”14、『=15、c016、2y^-=iI17、2?i]2因为yP—=^(?0=/2凶・严力为实数，可取为力=0所以a>=e2"£塔18、斤>M=oV〃！三、给定⑹0)方向的单位矢量«=(sincoscp,sin0sin(p,cos0),在cr：表象中求-on的本征值和归一化本征矢。解：因为叭二CFiSin&cos0+(7、.sin&sin0+(7：cos&所以的本征值为±1'cos&sin兔“'ksin0e,19、—rew/2)cos—e卩0=2sin—ei(p<2)或(p=2&i(p!2sin—e屮L2丿求得(P-X=sin—20砂一cos—w屮或(p_=(n、u-g}2sin—e屮2-cos—ei0时(1)电子自旋态力(/)；（2）电子自旋£的平均值。解：（1）方法一初始条件z(0)=0(020、)、6(0)丿由薛定谭方程itid_{ciyb=—icoLad+b=-ia)L(a+b)a-b=icoL{a-b)积分得a(t)+b(t)=[d(0)十b(0)]e^1=不曲a(t)一b(t)=[d(0)—方(0)]以如=d%由此可得a(t)=coscoLtb(t)=-fsina)Lt(coscoLt、j—isine/丿方法二体系能量本征态即6的本征态，本征值和本征态分别为6=+lE=E+=ticoLv;〕E=E+=—ficoL电子自旋初态z（o）=0丿*S）T时刻电子自旋态为1力⑴=厉（严"°++严"久）（2）电子自21、旋各分量的平均值rcos©f,-isin©*(DS,乂⑴p(cos切/sin^rE1、0人sin如丿(COS(VJ、=0Sy=力七必力⑴=㊁（cose/JOzsin^rJ.■、(COS69/、0人_'siiW丿——sin2coj工二*⑴/力⑴二£（cos如zsin^r0、-1丿(-isin©/丿=-cos2^r2l五、已知系统的哈密顿量为(1£002e0£102£+/I丿/A«e求能量至二级近似，波函数至一级近似。解：(1)H=H()+H‘0、£'<000、02£0Hf=00002勺/、00可见所设表象为非H()表象，22、为将对角化，先由Ho的本征方程求其本征值和本征矢。求得结果为：本征值E：°)=eE；°)=相应本征矢(1>0丨2>=1<-1>=2e23、3>=^⑵利用s=-~i=10-1转到/?0表象(将对角化)<202、Z(£00、2201£0h'=S+H'S=000.003£2A0//沁=工九=S+H.S=Z7(2)_y1I12”一佥卵-琦在他表象中=h：n则E；')=2/2Ef=0=2/2£,<2)=18£E$)=oy0⑴一A=0<=-4-0丁
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9、0＞,将其表示成各能量本征态E＞的线性叠加。已矢口a
10、n.>=VhI/7-1>o解：设a>=^Cn>n=0888得aa>=工C”a>=为Iaz-1>=Q工C“
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17、2?i]2因为yP—=^(?0=/2凶・严力为实数，可取为力=0所以a>=e2"£塔
18、斤>M=oV〃！三、给定⑹0)方向的单位矢量«=(sincoscp,sin0sin(p,cos0),在cr：表象中求-on的本征值和归一化本征矢。解：因为叭二CFiSin&cos0+(7、.sin&sin0+(7：cos&所以的本征值为±1'cos&sin兔“'ksin0e,19、—rew/2)cos—e卩0=2sin—ei(p<2)或(p=2&i(p!2sin—e屮L2丿求得(P-X=sin—20砂一cos—w屮或(p_=(n、u-g}2sin—e屮2-cos—ei0时(1)电子自旋态力(/)；（2）电子自旋£的平均值。解：（1）方法一初始条件z(0)=0(020、)、6(0)丿由薛定谭方程itid_{ciyb=—icoLad+b=-ia)L(a+b)a-b=icoL{a-b)积分得a(t)+b(t)=[d(0)十b(0)]e^1=不曲a(t)一b(t)=[d(0)—方(0)]以如=d%由此可得a(t)=coscoLtb(t)=-fsina)Lt(coscoLt、j—isine/丿方法二体系能量本征态即6的本征态，本征值和本征态分别为6=+lE=E+=ticoLv;〕E=E+=—ficoL电子自旋初态z（o）=0丿*S）T时刻电子自旋态为1力⑴=厉（严"°++严"久）（2）电子自21、旋各分量的平均值rcos©f,-isin©*(DS,乂⑴p(cos切/sin^rE1、0人sin如丿(COS(VJ、=0Sy=力七必力⑴=㊁（cose/JOzsin^rJ.■、(COS69/、0人_'siiW丿——sin2coj工二*⑴/力⑴二£（cos如zsin^r0、-1丿(-isin©/丿=-cos2^r2l五、已知系统的哈密顿量为(1£002e0£102£+/I丿/A«e求能量至二级近似，波函数至一级近似。解：(1)H=H()+H‘0、£'<000、02£0Hf=00002勺/、00可见所设表象为非H()表象，22、为将对角化，先由Ho的本征方程求其本征值和本征矢。求得结果为：本征值E：°)=eE；°)=相应本征矢(1>0丨2>=1<-1>=2e23、3>=^⑵利用s=-~i=10-1转到/?0表象(将对角化)<202、Z(£00、2201£0h'=S+H'S=000.003£2A0//沁=工九=S+H.S=Z7(2)_y1I12”一佥卵-琦在他表象中=h：n则E；')=2/2Ef=0=2/2£,<2)=18£E$)=oy0⑴一A=0<=-4-0丁
19、—rew/2)cos—e卩0=2sin—ei(p<2)或(p=2&i(p!2sin—e屮L2丿求得(P-X=sin—20砂一cos—w屮或(p_=(n、u-g}2sin—e屮2-cos—ei
0时(1)电子自旋态力(/)；（2）电子自旋£的平均值。解：（1）方法一初始条件z(0)=0(0
20、)、6(0)丿由薛定谭方程itid_{ciyb=—icoLad+b=-ia)L(a+b)a-b=icoL{a-b)积分得a(t)+b(t)=[d(0)十b(0)]e^1=不曲a(t)一b(t)=[d(0)—方(0)]以如=d%由此可得a(t)=coscoLtb(t)=-fsina)Lt(coscoLt、j—isine/丿方法二体系能量本征态即6的本征态，本征值和本征态分别为6=+lE=E+=ticoLv;〕E=E+=—ficoL电子自旋初态z（o）=0丿*S）T时刻电子自旋态为1力⑴=厉（严"°++严"久）（2）电子自
21、旋各分量的平均值rcos©f,-isin©*(DS,乂⑴p(cos切/sin^rE1、0人sin如丿(COS(VJ、=0Sy=力七必力⑴=㊁（cose/JOzsin^rJ.■、(COS69/、0人_'siiW丿——sin2coj工二*⑴/力⑴二£（cos如zsin^r0、-1丿(-isin©/丿=-cos2^r2l五、已知系统的哈密顿量为(1£002e0£102£+/I丿/A«e求能量至二级近似，波函数至一级近似。解：(1)H=H()+H‘0、£'<000、02£0Hf=00002勺/、00可见所设表象为非H()表象，
22、为将对角化，先由Ho的本征方程求其本征值和本征矢。求得结果为：本征值E：°)=eE；°)=相应本征矢(1>0丨2>=1<-1>=2e
23、3>=^⑵利用s=-~i=10-1转到/?0表象(将对角化)<202、Z(£00、2201£0h'=S+H'S=000.003£2A0//沁=工九=S+H.S=Z7(2)_y1I12”一佥卵-琦在他表象中=h：n则E；')=2/2Ef=0=2/2£,<2)=18£E$)=oy0⑴一A=0<=-4-0丁
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