高考数学大一轮复习第十三章鸭部分13_2不等式选讲第2课时不等式的证明课件文新人教版

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1、§13.2不等式选讲第2课时　不等式的证明基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习(1)比较法：①作差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明即可，这种方法称为作差比较法.②作商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明即可，这种方法称为作商比较法.1.不等式证明的方法知识梳理a－b>0(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析

2、法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立

3、，这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(当且仅当ad＝bc时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

4、α

5、

6、β

7、≥

8、α·β

9、，当且仅当β是零向量

10、，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.2.几个常用基本不等式(ac＋bd)2考点自测解答解答≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.∵x>0，y>0，解答题型分类　深度剖析例1(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；题型一　用综合法与分析法证明不等式证明因为x>0，y>0，x－y>0，证明只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.所以原不等式成立.思维

11、升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：证明由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.证明例2若a

12、，b∈R，求证：当

13、a＋b

14、＝0时，不等式显然成立.当

15、a＋b

16、≠0时，题型二　放缩法证明不等式证明思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：②利用函数的单调性；③真分数性质“若00，(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.跟踪训练2证明由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得…∴原不等式成立.题型三　柯西不等式的应用证明(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.解答思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左

17、边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.证明由柯西不等式及题意得，课时作业解答123456789101.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.12345678910解答即a＝－2.1234567891012345678910解答12345678910由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，解答12345678910证明又a＋b＋c>0，123

18、456789106.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(