高考数学大一轮复习 第十三章 选考部分 13_2 不等式选讲 第2课时 不等式的证明教师用书 文 新人教版

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1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线第2课时　不等式的证明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．不等式证明的方法(1)比较法：①作差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推

2、导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当

3、地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥

4、n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

5、α

6、

7、β

8、≥

9、α·β

10、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.④柯西不等式的一般形式：设a1，a

11、2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(2)算术—几何平均不等式若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．1．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值．解　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.2．若a，b，c∈(0

12、，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3．设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．解　∵x>0，

13、y>0，∴原不等式可化为－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立．∴min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.题型一　用综合法与分析法证明不等式例1　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3.(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca

14、)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋