求解矩阵特征值问题的算法研究

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1、分类密级.铁姑理工大学DC编号.子位论文题名和副题名求解矩阵特征值问题的算法研究作者姓名杨长青指导教师姓名及职称务务银教授卢玉蓉副教授申请学位级别硕±专业名称应用数学论文提交日期2004.5论文答辩日期2004.6学位授予单位和曰期11答辩委员会主席评阅人2004年月日【论文摘要】研究生:杨长青专业：应用数学导师：I胥泽银曲受•卢玉蓉副教授求解矩阵特征值问题算法的研究摘要：本文研究求解矩阵特征值问题的数值方法，在分而治之方法的基础上提出三种改进算法•文章主要包括三个部分：第一部分是利用改进的分而治之算法计算对称的三对角矩阵的特征值•该算法以割线法迭代为基础，明显不同与传统的Newton迭

2、代法，理论和数值实验表明改进的算法的收敛性比经典算法好.第二部分是利用分而治之算法计算对称矩阵的特征值，对称矩阵特征值问题加％。通过Householder变换，转化为三对角对称正定矩阵的特征值问题7>=二再将r分割成两个子矩阵刃然后利用对称QR方法分别求T,的特征值.将所求得的两组特征值胶合在一起，利用以割线法迭代为基础的一种新的分而治之算法求其特征值.第三部分是把分而治之算法推广来计算非对称矩阵的特征值，考虑特征值问题办其中4是非对称矩阵.通过正交变换（如Householder变换），J可化为上Hessenberg形，再进行分割为4，儿，利用QR方法计算儿的特征值，然后以这些特征值为初

3、始值进行Languerre迭代从而得到X的相应特征值•而且该算法具有能够并行计算的优越性.本文对三个新算法都作了深入的理论分析并进行数值实验，理论结果和数值实验表明新算法在收敛速度和计算量等方面都有相应改进.另键词：矩阵，特征值，分而治之算法，迭代'Householder变换，QR算法.ANewAlgorithmSolvingEigenvalueProblemofMatricesMajor：AppliedmathematicsName：YangChangqingSupervisor：XuzeyingjLuYurongIAbstract]Thisthesisderivesthreealgo

4、rithmsforsolvingtheeigenvalueproblemofmatricesonthebasisofadivide-an(l一conquerAlgorithm・Thearticleincludesthreepartsmainly：Thefirstpartpresentsanewdivide-and-conquerAlgorithmfortheeigenvalueproblemofsymmetrictridiagonalmatrices・Thenewalgorithmbasesonbisectionandsecantiteration,whichisdifferentCup

5、pen'smethodandNewtoniteration・Theresultsoftheoreticalanalysisandnumericaltestingshowthatconvergentrantofouralgorithmisobviouslyfasterthatoftheclassicalalgorithm.Thesecondpartappliesdivide-and-conqueralgorithmtocalculatetheeigenvaluesofsymmetricalmatrices・Theeigenvaluesproblemofsymmetricalmatrices

6、Ax=Axcanbetransformedtheeigenvaluesproblemofsymmetrictricliagonalmatrices7x=/zrthroughHouseholdertransform.WedivideTintoTW，7^andapplysymmetricalQRalgorithmtocomputetheeigenvaluesoiTW^Ti9Atlastweveneertheseeigenvalues.Thethirdpartextendsthealgorithmtosolvetheeigenvalueproblemofnonsymmetricalmatric

7、es.ConsideringthequestionAx=64isanonsymmetricalmatrix)AcanbetransformedupperHessenbergmatrixbymeansofHouseholdertransform.TransformedAisdividedintoAWAithen.TheyutilizeQRalgorithmtosolvetheireigenvalues・Thenewalgorithmb