数学分析学年结论文

《数学分析学年结论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、判断无穷广义积分敛散性的方法（XX大学XX学院湖南）扌商要：介绍无穷积分敛散性的儿种方法，定义法，柯西判别法，比较法，狄利克雷和阿贝尔判别法，积分法以及「函数，以及进一步讨论这些方法的讨论.关键词：收敛；发散；无穷积分CriteriaForTheConvergenceAndDivergenceOfImproperInte^alsxxxxAbstract：Thispaperintroducessomecriterion,fortheconvergenceofimproperintegrals,anddefinition,Cauchycriterion,c

2、riterionbycomparison,DirichlettheoremandAbeliantheorem,integrationandrfunctionandforthemore,dealswiththeapplicationsofthosemethods.KeyWords：convergence；divergence；improperintegral仁定义⑵设函数/定义在无穷区间［a,+00）上，且在任何有限区间［a,u］上可积.如果存在极限则称此极限J为函数/在［a,+00）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记做并称兀皿收敛.如果极限（1）不

3、存在，为方便起见，亦称兀宓发散.JaJa2.用定义来判断无穷广义积分的敛散性定理2.1⑵无穷积分「7（兀）必收敛的充要条件是：任给£〉0,存在Gn0,只要u“>G,便有£'f(x)dx-£/(兀)列=『f(x)dx<£.性质2.2⑵若「/(xg与「和劝力都收敛，&,&为任意常数，则f伙』(兀)+広/,(兀)］弘也收敛，且Ja『+00f400fKO［伙］/(兀)+©£(兀)皿=y;(x)+z：2£f2(xix.性质2.3⑵若/在任何有限区间［a,u］上可积，a

4、f-ho£于(兀皿二［/(兀皿+［f{x)dx,其屮右边第一项是定积分.性质2.4⑵若/在任何有限区间［a,u］上可积，且有「

5、/(兀松收敛，则B4

6、/(x)

7、6Zx收敛，即为极限limj存在.推论3.1⑵若/定义于血+oo)(a>0),且在任何有限区间［a,u］上可积，则有：(i)当

8、/U)

9、<^-,xe［a,+oo),且p>l时「

10、/(X)您收敛；(ii)当

11、/(x)

12、>-^-x,xe［a,+oo),且pWl时f(X

13、)dx发散.Xd推论3.2⑵设/定义于［a,+oo),在任何有限区间［a,u］上可积，且limx/?

14、/(X)

15、=2•则有:(i)X->QO+oc当p>l,052<+g时，(

16、.f(X)陞收敛;(ii)当p<9Ov/lS+oo吋，j

17、/(X)肚y发散.例⑵讨论下列无穷积分的收敛性:r+ooax1)Ixaexdx；2)I.dx.J,JoV77T解i)由于对任何实数&都有a+2limxTQ=lim—二0,x-»ooA-»00gl因此根据上述推论（p=2,2=1），对任何实数&都是收敛的.2）由于丄x2limx2/=］,iyjx5+1因此根据上述推论（p

18、二丄，久二1）,则是发散的.2对于门/⑴肚的比较判别亦可类似地进行.4比较判别法定理4.1［2］（比较法则）设定义在［a,+00）上的两个函数/和g都在任何有限区间［a,u］上可积，口满足/(x)

19、/（兀）处必收敛（或者，当广

20、/（兀）推发散时，「g（兀皿必发散.例⑴讨论芈弘的收敛性.。1IX解由于

21、竺

22、＜丄，xe［0,+00）,以及「-^r=-为收敛，根据比1+x21+〒Jol+x22较法则，【詈討兀为绝对收敛.推论4.2⑵若/和g都在任何［a,u］上可积,g(兀)>0,且g(X)则有:(i)当0

23、<+oo时，[

24、.f(X)

25、6te与同敛态;（ii）当c=0口寸，由^g{x）dx收敛可推「

26、/（X）”Zv也收敛;(i)当<:=+0)时，由Jg(x皿发散可推知J

27、.f(X)密也发散.例⑶当n满足什么值时，厂竺弓％x收敛.J()兀"解1詔+/产「兰吗“「竺处弘I2J。疋JlT对厶：n=l是为正常积分,nn>l时，arctanx_arctanx11*1巴沁=12()兀"则人收敛.n>2时发散.对/八当n>l时原式收敛;Av当冲1吋mrtanx>A,XX则人发散；Av当nvl时，原式也发散，所以，当lv

28、n<2时「半％收敛.Jo兀"5狄利克雷判别法和阿贝尔判别法定理5.1⑵若F(w)=£f(x)d