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《数学分析中不等式的证明方法与举例_本科毕业论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、分院名称：数学学院学生学号：0907140132长春师范大学本科毕业论文（设计）（理工类）题口：数学分析中不等式的证明方法与举例专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师姓名：指导教师职称：2013年5月长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名：日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成•
2、如果存在学风问题，本人愿意承扌口指导教师的相关责任.指导教师签名:承诺保证书I前言11构造变限积分证明不等式12利用函数单调性证明不等式23利用微分中值定理证明不等式44利用积分中值定理证明不等式65利用泰勒公式证明不等式86利用函数极值证明不等式97利用函数凹凸性证明不等式118利用幕级数展开式证明不等式129利用著名不等式证明不等式13参考文献16致谢17英文摘要18数学分析中不等式的证明方法与举例摘要：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分析研究的主要问题之一,然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因此，对于不等式
3、的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析小证明不等式的若T方法，并对不等式的证明方法进行归类•同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度來研究不等式.关键字：数学分析不等式证明方法.刖§不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的
4、存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程迟的多•直到1934年，数学不等式理论及其应用的研究才止式粉墨登场，成为一门新兴的数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分.20世纪80年代以来在中国犬地上出现了持续高涨的不等式研究热潮.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究.综上所述，数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.1构造变限积分证明不等式定义：设/(
5、兀)在［。力］上可积，对任何xwS"］,/")在［。，兀］上也可积，于是，由①(兀)={7(xw,底［%］,定义了一个以积分上限兀为自变量的函数，称为变上限的定积分•类似地，又可以定义变下限的定积分：屮(无)=ff(x)dt,xe［a,h］,①与屮统称为变限积分.定理：若/在［d,b］上连续，贝康变限积分作为关于x的函数，在［Q,b］上处处可导，且,(『于⑴力)=/(x)X(f/(Ot/r)=-fM，axaxJv更一般的有4-f=/［g(x)］g'(x)—/［/2(x)］/2tr)•dx皿)例1.证明柯西不等式［“(x)g(x)dx
6、p<
7、72(x)Jx^2(x)Jx・证明：构造变上限辅助函数0(")=［［fO)g(x)dx『一£/2(x)dxfg2(x)dx.显然妙©)在［a,切上连续，在(o,b)内可导，且池u)=2/(u)g(u)f/(x)g(尢)dx-f2(u)Jg2(兀)〃兀_&2(况)(严(兀)〃兀=2£f(u)g(u)f(x)g(x)dx-^f2(u)g2(x)dx-£f2(x)g2(u)dx=一[[严⑷g2(兀)—2/(«)gS/(X)g(兀)+/2(X)g2(«)]dx=-{Lf(«)g(x)-/(x)g(u)Fdx<0•所以心)在[a.b]上
8、单调减少,则0(b)5©(a)=0,即叭b)=[(fMgMdx]2-^f2(兀)〃寸g2(x)dx<0.得到[f/Cv)gUW2ff(x)・证明：构造变上限辅助函数：F(f)={xf(x)dx-^~Jf(x)dx.显然F(a)=O,对V虫［讪,n(/)—*打皿―竽/⑴⑴加’xw(QM).因为/(X)单调递增，则Ft)>0,则F⑴单调递增，所以因此F(b)>F(a)=Oi(b>a).(xf{x)dx>(f(x)•2利用函数单调性证明不等式定理:设函数/(x)在
9、［a.b］上连续，在⑺上)内可导,则有(1)如果在@劝内/(x)>0,那么，函数于⑴在［a,列上单调增加.(2)如果在@上)内r(x)<0,那么，函数/(兀)在仪上］上单调减少.例1.证明不等式：ex>1+x,无H0・证明：设f(x)
