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1、长春工业大学硕士学位论文分院名称：数学学院学生学号：0907140132长春师范大学本科毕业论文（设计）（理工类）题目：数学分析中不等式的证明方法与举例专业：数学与应用数学作者姓名：指导教师姓名：指导教师职称：2013年5月长春师范大学本科毕业论文（设计）长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名：日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立
2、完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名：日期：年月日长春师范大学本科毕业论文（设计）目录承诺保证书…………………………………………………………………I前言…………………………………………………………………………11构造变限积分证明不等式………………………………………………12利用函数单调性证明不等式……………………………………………23利用微分中值定理证明不等式…………………………………………44利用积分中值定理证明不等式…………………………………………65利用泰勒公式证明不等式………………………………………………86利用函数极值证明不等式………………
3、………………………………97利用函数凹凸性证明不等式……………………………………………118利用幂级数展开式证明不等式…………………………………………129利用著名不等式证明不等式……………………………………………13参考文献……………………………………………………………………16致谢……………………………………………………………………17英文摘要……………………………………………………………………18长春师范大学本科毕业论文（设计）数学分析中不等式的证明方法与举例摘要：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分析研究的主要问题之一，然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因
4、此，对于不等式的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析中证明不等式的若干方法，并对不等式的证明方法进行归类.同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式.关键字：数学分析不等式证明方法.前言不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等
5、式的认识要比方程迟的多.直到1934年,数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场,成为一门新兴的数学学科,从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合,它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分.20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究.综上所述,数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.1构造变限积分证明不等式17长春师范大学本科毕业论文（设计）定义：设在上可积，对任何,在上也可积，于是，由，，定义了一个以
6、积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可以定义变下限的定积分：,,与统称为变限积分.定理：若在上连续，则其变限积分作为关于的函数，在上处处可导，且,更一般的有.例1.证明柯西不等式.证明：构造变上限辅助函数.显然在上连续，在内可导，且.所以在上单调减少，则，即.得到.17长春师范大学本科毕业论文（设计）例2.设在上连续，且单调递增，试证明.证明：构造变上限辅助函数：.显然，对，,.因为单调递增，则，则单调递增，所以,.因此.2利用函数单调性证明不等式定理:设函数在上连续,在内可导,则有(1)如果在内,那么,函数在上单调增加.(2)如果在内,那么,函数在上单调减少.例
7、1.证明不等式：，.证明：设则，故当时，，严格递增；当，，严格递减.又因为在处连续，则当时，.17长春师范大学本科毕业论文（设计）即.故得证.例2.证明.证明：记，则，所以单调递增，于是由知.即.3利用微分中值定理证明不等式拉格朗日中值定理:设函数满足如下条件:(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.柯西中值定理:设函数和满足：(1)在上都连续；(2)在内都可导；(3)和不同时为零；17长春师范大学本科毕业论文（设计）(4)，则存在,使得
