7高中数学人教a版选修4-学案:第一讲二平行线分线段成比例定理word版含解析

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1、二 平行线分线段成比例定理1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.1.平行线分线段成比例定理文字语言三条平行线截两条直线,所得的对应线段______符号语言a∥b∥c,直线m分别与a,b,c相交于点A,B,C,直线n分别与a,b,c相交于点D,E,F,则=____图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例(1)定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条数还可以更多.(2)定理的结论还有

2、=,=等.可以归纳为=,=等,便于记忆.(3)当截得的对应线段成比例,且比值为1时,则截得的线段相等,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例;平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.【做一做1】如图所示,a∥b∥c,AB=2,BC=3,则等于(  )A.B.C.D.2.推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段______符号语言直线DE分别与△ABC的两边AB,AC所在直线交于D,E,且DE∥BC,则=____图形语言作用证明三角形中

3、的线段成比例【做一做2-1】如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若AD=3,BD=1,则等于(  )A.1B.3C.D.【做一做2-2】如图,AB∥CD,AC,BD相交于O点,BO=7,DO=3,AC=25,则AO的长为(  )A.10B.12.5C.15D.17.5答案:1.成比例 【做一做1】B ∵a∥b∥c,∴==.2.成比例 【做一做2-1】D ∵DE∥BC,∴====.【做一做2-2】D ∵AB∥CD,∴==,∴=,∴AO=AC=×25==17.5.比例的概念及有关性质剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫做这两条线段的比.(2)比例线段:在四

4、条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.(3)比例的有关概念:已知四条线段a,b,c,d,如果=或a∶b=c∶d,那么线段a,d叫做比例外项,线段b,c叫做比例内项,线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.若=或b2=ac,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.(4)比例的性质:①基本性质:a∶b=c∶d⇔ad=bc.②合比性质:如果=,那么=.③等比性质:如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=.(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,a

5、∶b与b∶a通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如线段a,b,c,d成比例,与线段a,c,b,d成比例不同.题型一证明线段成比例【例题1】如图,AD为△ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使AE=AF,求证:=.分析:在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系,可以考虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来求解.反思:(1)比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.(2)利用平行线来转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线而有必要转

6、移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的,如本题中,===.题型二证明线段相等【例题2】如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点,=,连接BE并延长,交AC于点F,求证:AF=CF.分析:切入点是条件=的应用,通过作平行线,证明=,其中x是某条线段.题型三证明线段倒数和的等式【例题3】如图,AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,连接AD,BC交于点E,EF⊥BD于F,求证:+=.分析:转化为证明+=1.由于AB∥EF∥CD,将与化归为同一直线BD上的线段比就可证得.反思:证明有关线段倒数和的等式时,常用的方法是先将其变形为线段比的和为定值的形式,然后化归为同一直线上的线段比.

7、题型四计算线段长度的比值【例题4】如图,M是ABCD的边AB的中点,直线l过M分别交AD,AC于E,F,交CB的延长线于N,若AE=2,AD=6.求AF∶AC的值.分析:⇒⇒反思:运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值,应分清相关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等.答案:【例题1】证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.∵AE=AF,∴AM=AC.∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.延长AD到G,使

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