全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

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1、2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足，则△ABP与△ABC的面积之比为．2．已知数列满足：，则4022．3．已知，如果集合，则所有符合要求的角构成的集合为．4．满足方程（）的实数对的个数为8．5．设是模为2的复数，则的最大值与最小值的和为4．6．对一切满足的实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．7．设集合.如果方程（

2、）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为23．8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故.------------------------------------------4分又因为二次函数的图象过点（1，13）

3、，所以，故.因此，的解析式为.------------------------------------------8分（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即.------------------------------------------12分注意到43是质数，且，，所以有解得因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列满足.证明：对一切，有（1）；（2）．解（1）显然，，所以（）.所以，对一切，，所以.--------------------5分所以，当

4、时，，所以.又，故对一切，有.因此，对一切，有.-------------10分（2）显然.由，知，所以，所以，所以，------------------------------------------15分所以，当且时，，所以.------------------------------------------20分11．已知椭圆C：，过点P而不过点Q的动直线交椭圆C于A、B两点.（1）求∠AQB；（2）记△QAB的面积为，证明：．解（1）如果直线的斜率存在，设它的方程为，因为点P在直线上，所以，故.联立直线和椭圆C的方程，消去，得.设A，B，则，，，----------------

5、--------------------------6分因为，，所以＝0，所以，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°.如果直线的斜率不存在，则A、B两点的坐标为，容易验证∠AQB＝90°也成立.因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为.如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为，代入椭圆C的方程，消去，得，则.又QB⊥QA，所以，同理可求得.------------------

6、--------16分于是，△QAB的面积为.令，则.注意到，，且等号不能同时取得，所以.------------------------------------------20分请忽略以下内容：三个法五幅文人画有5个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退还退伙公司股份的七月五日合同公司软腭为人体热饭围绕捍卫条约人体也日1.夜人因为沿途统一欧哟与体育体育人体也有体育课接过槐金金葵花进口货更好的回答让他觉得他于一九一九到海地工人华人特他太太和任何人提及然而他二句土语竟如同人体二条儿童却如同去幼儿园为特区哦他

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