2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

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1、2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）1．已知复数满足，则0．2．设，，则的值域为．3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是．4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则．5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为．6．设，且，，则符合条件的共有1600组．（注：顺序不同视为不同组．）7

2、．设，则的最小值为．8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是．二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）9．设数列满足，，其中．（1）证明：对一切，有；（2）证明：．证明（1）在已知关系式中，令，可得；4令，可得①令，可得②由①得，，，，代入②，化简得．------------------------------------------7分（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此．于是．因为，所以．------------------------------------------14分1

3、0．求不定方程的正整数解的组数．解令，，，则．先考虑不定方程满足的正整数解．，，．----------------------------------5分当时，有，此方程满足的正整数解为．当时，有，此方程满足的正整数解为．所以不定方程满足的正整数解为．------------------------------------------10分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为．------------------------------------------15分411．已知抛物线C：与直线l

4、：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．证明(1)设，则．由得，所以．于是抛物线C在A点处的切线方程为，即．　　设，则有．　　设，同理有．所以AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点．------------------------------------------7分(2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得．设，，则①要证，只需证明，即②由①知，②式左边=．故②式成立，从而结论成立．--------------

5、----------------------------15分412．设为正实数，且．证明：．证明因为，要证原不等式成立，等价于证明①----------------5分事实上，②----------------10分由柯西不等式知③----------------15分又由知④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立．------------------------------------20分4