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1、不尽的探索无穷的乐趣湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞引例如图1,在△ABC屮，ZABC.ZACB的平分线相交于点0,试判断ZB0C与ZA的关系？说明你的理由.解：ZBOC=90°+2ZA.理山：TBO平分Z4BC,C0平分ZACB,2AZl=2AABC,Z2=jZACB.1AZ1+Z2=j(ZABC+ZACB).在A4BC中，ZABC+ZACB=180°-ZA.22AZ1+Z2=j(180°-ZA)=90°-2ZA.在厶BOC中，ZBOC=180°-(Z1+Z2)j2=180°-(90°-2ZA)=90°+jZA・由此我们得到这样一个结论：结论1：三角形两内角平分线的夹
2、角等于第三个内角的一半的余角的补角.如果把题口中的内角平分线，改为外角的平分线，那么ZBOC与ZA的关系乂如何呢?探索一：如图2,'ABC的外角ZCBM、ZBCN的平分线相交于点0,试判断ZB0C与ZA的关系？说明你的理由.2解：ZBOC=90°-2ZA・理由：・・・30平分ZCBM,C0平分ZBCN,}AZl=2ZCBM,Z2=>ZBCN.2AZl+Z2=2(ZCBM+ZBCN).•・・ZCBA/=180°-ZA5C,Z^C^=I8O°-ZACB,・・・ZCBM4-ZBCN=360°~(ZABC+ZACB)=360°-仃80°-ZA)=180°+ZA.2.Z1+Z2=
3、2(180°+ZA)=90°+JZA.在厶BOC中，ZBOC=180°-(Z1+Z2)J2=180°-(90°+2ZA)=90。一2ZA.说明：在计算ZCBM+ZBCN时，也可利用三介形的外角性质，即ZCBM=ZA+ZACBfZBCN=ZA+ZABC,所以ZCBM+ZBCN=(ZA+ZACB+ZABC)+ZA=180°+ZA.为了利用结论1,本题也可以这样说明理由：如图3,分别作ZABC和ZACB的平分线肿和CP,BP和CP相交于点P,根据“一对邻补角的平分线互相垂直”(此结论留给同学们自己探索)，可得ZPBO=90。,ZPCO=90。.又四边形PBOC的内角和等于360°,
4、所以ZBOC=360o-90o-90o-ZBPC=180°-ZBPC.图3利用结论1,可得ZBPC=90°+2ZA.j.2所以ZB(9C=180°-(90°+2ZA)=90°-JZA.山此我们得到这样一个结论:结论2：三几形两外角平分线的夹角等于与这两外角不相邻的内角的一半的余角.以上分别是两内角平分线与两外侑平分线相交的情况,如果是一内角的平分线与一•外角的平分线相交，结果乂会如何呢？探索二如图4,在AABC屮，内/fjZABC的平分线与外^ZACD的平分线相交于点O,试说明ZBOC与ZA的关系？说明你的理由.解：ZBOC=JZA.理由：・.・B0平分ZABC,CO平分ZA
5、CDf:.ZABC=2ZlfZACD=2Z2.又Z2是/XBOC的外角，・・・Z2=Z1+ZBOC,即ZBOC=Z2-Z1.XZACD是△ABC的外侑，・•・ZACD=ZABC+ZA,即ZA=ZACD-ZABC.・・・ZA=2Z2-2Z1=2(Z2-Z1)=2ZBOC.2:.ZBOC二2ZA.为了利用结论1,本题也町以这样说明理rtn如图5,作ZACB的平分线CP交BO于点P,利用结论1可知ZBPC=90o+二ZA.根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知ZPCO=90。.又ZBPC是SCO的外角，所以Z2BPC=ZBOC+ZBPC,#卩90°+2ZA二ZBOC+90。..IZ
6、BOC二2ZA.图5为了利用结论2,本题也可以作△ABC的外角平分线与CO的反向延长线相交于点P（如图6）,易证CP是△ABC的外角ZBCE的平分线，根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知ZPBO=90。.乂由结论2可知ZBPC=90。-二ZA,所以ZBOC=ISO°-ZPBO~Z1BPC=180°-90°-(90°-2ZA)=2ZA.图6同学们，阅读此文，你是否有一种沉浸在不尽的探索和喜悦Z中，在探索的过程中，我们又利用探索出来的结论（或者叫做我们的小发明或小创造吧）去探索新的结论，你是否有一种小小的成就感呢？有人算过这样一笔帐，一只蜜蜂要酿出一公斤蜂蜜，需要来回飞行大约三
7、十万公里，吸吮大约一千二TT万个花朵的液汁.每次采集回來，还需耍把液汁从胃里吐岀來，由另一只蜜蜂吸到口己的胃里，如此吞吞吐吐一TT二十次到三TT四十以次，液汁才成为蜜汁，并最终变成浓稠的蜂蜜.山此可见积累的重要性，学习数学也需要积累.数学解题能力的提高,需要积累丰富的解题经验，并适当记住一些简洁的结论，可以快速抓住问题的本质，简化思维过程，提高解题效率.快乐体验：1.如图7,BD平分ZABC,CD平分外角ZAC£,ZA=70°,求ZD的度数.图72.如图8,BD平分ZABCfCD平分Z4CB,乙4=70
