2014年“华约”自主招生模拟试题[1]

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1、2014华约数学模拟试题(满分150分)第一部分：填空题(共5小题每题10分)1.若tancr=2，则4sirrQ-3sinacosa-5cos~&=・2.在复数集C内，方程2兀2-(5-z)x+6=0的解为3.设x=(15+V220)19+(15+V220)82，求数兀的个位数字.4.设A={hI1OO

2、集合A=-2>,B=->1

3、.若AD3H0,求实数a的取值范围2.为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P(PwN+)条建议.己知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于2"个3.设平面向量EH1)"G，#).若存在实数诚20)和角叱(-雳)),使向量c=d+(tair-3)b,d=—加d+btan&,且c丄d・⑴求函数加=.f(0)的关系式；(11)令『=tanO,求函数加=g(f)的极值.4.已知双曲线的两个焦点分別为片,传,其中片乂是抛物线y2=4x的

4、焦点，点A(-l,2),B(3,2)在双曲线上.(I)求点厲的轨迹方程；(II)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只冇两个公共点?若存在，求实数加的值，若不存在，请说明理山.5.已知a,b均为正整数，且a>b,sin0=严？11'0<6><-),4,=(a2+b21-sinn0,求证:a2+h^2对一切〃gN*,九均为整数参考答案选择题1.rhtancr=2，得sina=2coscrsin2a=4cos2a，即1一cos?a=4cos2a・则cos2a--，原式二16cos2a-6cos2a-5cos2a=5cos2a=.2.^x=a+bi,a9

5、beR，代入原方程整理得(2a2-2b2-5a+6-b)+(4ab+a—5b)i=032宀2宀5+40,解得4ab+a-5b=0_Ici——a或J2所以兀=1+：或兀=1b=l,322b=——23.直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.【解】=(15-V220)19+(15-V220)82,贝欣+y=[(15+V^)w+(15+严]+[(15-V220)*9+(15-7220严],由二项式定理知，对任意正整数n.(15+V^U)”+(15—=2(15"+C；・15"—2・220+・・・)为整数，几个位数字为零.因此，兀+y是个位

6、数字为零的整数.再对y估值，因为0<15-7220=—<—=0.2，1L(15-V22O)88<(15-V220)19，15+V22025所以0vy<2(15-辰6严<2x0.219<0.4.故兀的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为町研究的问题.4.解：被7除余2的数可写为7^+2.由100W7k+2W600.知14WRW85.51n-2n-2乂若某个R使7^+2能被57整除，则可设Ik+2=51n.即k=——=8/?+-—.77即n-2应为7的倍数.设n=7m+2代入，得k=51m+l6.A14<57m+16<85

7、・/.”0,1.于是所求的个数为70・5.设点P(兀(),y()),M(x,y)，有兀=x°+；x0,y=凡+竽，得x0=3兀，y()=3y+2而)?o2一4yo-4xo=O，于是得点M的轨迹方程是9尸-12x-4=0.二、解答题1.解：A={兀一15兀<3},B={”(兀一°)(兀一3a)v()}.当a〉0时，B=

8、x

9、0

10、=0,-MAA0不符.综上所述,ow(-l,0)U(0,3)2.证明：假设该校共有加个班级，他们的

11、建议分别组成集合出，人2,…,这些集合屮没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议)，而任何两个集合都有相同的元索，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在AM2/-，An中至多有A(所有P条建议所组成的集合)的丄x2卩=2*1个子集，所以m<23.解:(1)由c丄d,a・E=—->/3-1--^-=0,得=[«+(tan20-3)ft]-[-ma+btan0]22=-ma4-(tan3^-3tan0)b=0卩加a=(tan30-3tan0)b，得Ijrjrm=—(tan3-3tan0)(<0<—).4221.(H)由tan0=r，得加=g(

12、t)=—(厂-3f)jgR4求导得加=g(/)=扌(八一1),令g