关于高中数学逻辑教学的思考与感悟

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1、关于高中数学逻辑教学的思考与感悟　　摘要：本文就逻辑教学提出这样的观点：不能把逻辑推理仅当成一块独立的知识进行教学，它在教学上的定位及落脚点应是着重于成为数学思考的法则，成为学生思维的一种习惯.就此列举一些案例阐明在教学中应将逻辑推理不断渗透，适时适地的提示，使学生在潜移默化之中熟悉.　　关键词：常用逻辑用语；逻辑推理；数学思维　　逻辑在数学领域扮演着重要的角色.它是在形象思维和直觉顿悟思维基础上对客观世界的进一步的抽象.五十年代的数学教学大纲中逻辑思维能力涵盖了概念、原理、性质等逻辑知识，并要求学生必须具备逻辑思

2、维能力，指出了其重要性.随着逻辑涉及的知识内容不断丰富，使用范畴逐渐扩大，其在数学大纲中的地位及重要性日益凸显.到2003年国家颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》，逻辑的基础知识、常用逻辑用语及推理与证明就已作为独立章节被选入高中数学必修及选修教材中.　　逻辑用语融入日常生活的方方面面，《数学课程标准》中提出正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，因此，如何正确地使用逻辑用语表达我们的思考显得非常重要.高中阶段逻辑教学课时少，不足十课时，但是所涉及的逻辑思维、逻辑推理、逻辑知识却贯穿于高中教学的全

3、过程.可以看到高中所学的逻辑知识不但在数学领域而且在其他诸多领域都有极其重要的价值.下面根据个人教学经验，谈谈有关逻辑教学的看法.4　　数学学科的一个重要目标就是培养学生抽象的逻辑思维能力.逻辑是一个基本的工具，因而逻辑在教学上的定位及落脚点应是着重于阐述数学思维的方法.心理学家认为，高中阶段学生的思维方式是从形象思维向抽象思维过渡的阶段，在整个高中时期学生的思维应是以逻辑思维为主导，如果此时抓住契机加强逻辑知识的学习，训练学生的抽象思维，就能最大限度促进学生逻辑思维能力的培养.　　我们知道数学思想方法蕴含在数学知

4、识之中，它是数学的精髓和灵魂.数学教学的核心是在教会学生掌握数学知识的同时，更重要的是让学生学会运用数学思想方法解决数学问题.逻辑推理便好比是适当地连接那些数学知识的螺丝钉，将知识融为一体.比如几何学中的公理化方法，就是指从公理、公设出发根据一定的演绎规则得到其他命题，从而建立一套逻辑体系的方法.而且在逻辑推理过程中不断地研究还会不断地发现新的性质，假如我们不设法加以整理，只是把空间的无数性质杂乱地收集着，最后无法成为体系，所以我们必须要把几何的种种性质加以整理，而逻辑推理就是我们的工具，我们的不二法门.可见逻辑这

5、种素材在数学上是绝对必要的.具体地说，常用逻辑用语和逻辑推理是高中数学逻辑学的主体，其中常用逻辑用语包括量词、四种命题、充要条件等，逻辑推理包括三段论、合情推理等.对于逻辑的最简易部分弄清楚之后，在今后的教与学进程中如何不断地适时适地渗透它们，才能使学生逐渐熟悉它的用法，也就是说逻辑在教学中不能把它当成只是一个独立的知识教过就算，因为它是普遍出现在数学的各个领域及问题之中，因此我们在教学上务必掌握它的这个特性，适时适地的突出它的作用，逻辑的教学才可能落实.4　　下面举一些例子来说明上述的观点.　　例1.设椭圆的两焦

6、点是F1（-c，0），F2（c，0），而椭圆上的点到这两焦点的距离和是2a（a>c>0），则椭圆方程是+=1（a>b>0）.（注：本问题及下面的证明出自人教A版选修2-1中2.2.1椭圆及其标准方程）　　证明：点M（x，y）在椭圆上的充分必要条件是MF1+MF2=2a，因为MF1=，MF2=，所以+=2a.〔1〕　　为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得=2a-，〔2〕将这个方程两边平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，〔3〕整理的a2-cx=a，〔4〕上式两边再平方，得a4-2a2c

7、x+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（x2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），〔5〕两边同除以a2（a2-c2），得+=1.　　由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令b2=a2-c2得椭圆方程为+=1.　　评注：我们在讲授这个证明的同时，就应该引导学生思考并回答下面问题：由〔2〕推〔3〕及由〔4〕推〔5〕，因为使用平方操作，会不会因此产生增根？也就是〔2〕与〔3〕，及〔4〕与〔5〕，它们是彼此互为充要吗？或者说它们在逻辑上是等值吗？　　例2.已知f（x）=为

8、R上的奇函数，求实数a的值.　　解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，解得a=1.　　评注：上述解题过程只能说明结果a=1是题设的必要条件，结论虽正确，但目标是不是题设的充分条件呢？如果将f（x）改为f（x）=x3+ax2+a2-a，按上述逻辑推理应解答为：f（x）是R上的奇函数4f（0）=0a=1或a=0.可是当a=1时f（x）并不是奇函数，故a=