“变教为学”需要“善待错误”

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1、“变教为学”需要“善待错误”　　“变教为学”的主旨在于把学生的学习方式从“被动接受”改变为“主动探究”。而学生探究的结果必然包含着与教师预设不同的生成，当然也会出现各式各样的错误。所谓善待错误就是遇到学生出现错误的时候不生气、不抱怨、不指责，相信学生在学习过程中错误出现的必然性、普遍性、合理性，能够宽容错误、欣赏错误、研究错误，进而使学生在学习过程中出现的错误成为教学过程中可以利用的资源。　　一、教师应当做什么　　“以学为主”课堂教学的特点是“教师少说话、学生多活动”，那么当学生在活动时，教师应当做什么呢

2、？一项重要任务就是诊断学生的学习。[1]这种诊断起码应当回答两个问题：第一个问题是“错没错”，也就是辨别学生作品的是与非，特别是当学生作品与教师头脑中的“标准答案”不一致的时候，这个问题尤为重要；第二个问题是“为什么错”，也就是错误出现的原因分析。这样的原因可能是学生心理特征方面的内因为主，也可能是知识特点的外因为主。下面通过一个案例说明这样的过程。　　低年级学生在解决问题时常常出现一种“欲加却减，欲减又加”的现象。比如图1所示的是一道看图列式的问题：　　图1看图列式图　　这一问题的原意是已知总量为7，其

3、中一个部分量为3，求另一个部分量是多少。期望学生用减法计算，列式为：7　　7-3=4　　而学生列出的算式往往为：　　4+3=7　　把减法算式写成了加法算式。再看一道文字题（见图2）：　　图2学生解法图　　本题的意思是知道了“飞走”和“还剩”这两个部分量，求总量是多少。期望学生用加法“5+23=28”计算，可许多学生又偏偏列出减法算式28-5=23。当问及学生本题答案时，学生往往能够说出正确答案。　　这种“欲减却加，欲加又减”的现象在低年级学生中普遍存在，许多教师在判断学生这样做的正误时出现困惑。另外，究竟

4、是什么原因导致这种现象如此普遍呢？　　二、究竟错没错　　学生的做法究竟错没错？对此教师存在不同见解，认为“对”的主要理由是：“这样列式的学生通常都能说出问题的正确答案，说明学生是明白这道题的数量关系，并且能够正确计算的。”认为“错”的主要理由有两条：第一是“学生没有分清题目中的已知和未知，应当把已知数写在等号左侧，把计算结果写在等号右侧”；第二是“学生所使用的运算不对，应当用加法的题目，学生用了减法，应当用减法的题目，学生用了加法”。　　事实上，笔者认为这两条理由都是不成立的。一个问题中的“已知数”和“未

5、知数”虽然是不同的，但在思考的过程中往往需要把两者统一起来。比如在学习“方程”7的时候，就是用字母代替未知数，把它看成和已知数同样的数参与到运算之中。如果利用方程的知识解决前面两个问题，就是用字母x表示未知数，根据题目叙述的顺序列出方程“x+3=7”和“x-5=23”。这实质上与学生所列算式是一样的。另外，这种已知与未知的统一关系还经常体现于数学结论的推广方面。比如用任何具体的已知数都无法表示一般意义的长方形面积公式，一旦将具体的已知数用未知的字母来代替，更具普遍性的长方形面积公式“S=ab”就出现了。因

6、此从更广泛的意义上来说，研究一个问题的着力点应当放在数量关系方面，这样的数量关系可以有不同的表达方式，无论什么样的表达方式，“已知”和“未知”往往处于同等地位，放在什么位置上并不是最重要的事情。前面案例中学生的列式实际上已经表达出了问题的数量关系，所以应当认为是正确的。　　至于“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，实际上是对等号的一种误解。为了说明这一点，先来介绍数学中的“等价关系”。所谓等价关系可以说是一种很“亲密”的关系。不妨用熟知的“亲兄弟”关系来理解，凡亲兄弟关系一定会符合下面的条

7、件：如果甲和乙是亲兄弟，那么乙和甲也一定是亲兄弟；另外，如果甲和乙是亲兄弟，同时乙和丙也是亲兄弟，那么甲和丙也一定是亲兄弟。稍微“疏远”一些的“朋友”关系就不符合后面的条件。　　等号在数学中表示与亲兄弟类似的“亲密”关系，用等号可以表示下面三个条件：　　自身性，即A=A。　　交换性，即如果A=B，那么一定有B=A。　　传递性，即如果A=B，B=C，那么一定有A=C。7　　在数学中，凡符合这样三个条件的关系就叫作等价关系，“相等关系”自然也是一种等价关系。其中的交换性表明等号两侧是可以互换位置的，因此所谓的

8、“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”的说法是不成立的，至多可以认为是人们约定俗成的一种习惯。从这个意义上说，也应当承认前面案例中学生的做法是正确的。　　“用错运算”的说法实际上是对加法和减法运算关系的割裂，加法和减法实质上是对同一种数量关系的两种描述方式。比如图1案例的数量关系同时可以用下面三种方式描述：　　4+3=7　　7-4=3　　7-3=4　　综上，应当承认学生的做法是正确的，不仅不应当否定，而且应当鼓励