专题四函数图象上特征点问题

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1、专题四函数图象上的特征点问题函数图象上的特征点问题实际上是针对2015年和2016年北京市中考数学试卷中的代数综合题第27题.特征点指的是函数图象本身的特殊点，以及函数图象与坐标轴、与其他函数相交产生的点，或者是函数图象围成的区域内的特征点等.典例诠释例1(2015·北京市中考数学27题)在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x－1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线:+bx+c经过点A，B.(1)求点A，B的坐标；(2)求抛物线的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线:(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.

2、【解】(1)直线y=x－1中，当y=2时，则x=3,∴A(3,2).A，B关于直线x=1对称,∴B(－1,2).(2)把A(3,2)、B(－1,2)代入+bx+c中，得解得∴抛物线的表达式为－2x－1.当x=1时,抛物线有最低点，此时纵坐标为－2，∴顶点坐标为(1,－2).(3)如图2-4-1，当过A点、B点时为临界，图2-4-1将A(3,2)代入，得a=，将B(－1,2)代入,得a=2.∴≤a<2【名师点评】本题主要考查了对称点、待定系数法求函数表达式，以及特定条件下求函数表达式中待定系数的取值范围.同时还考查了学生动手画示意图的能力，考查了对于数形结合的认识和运用.本题利

3、用数形结合的思想方法解题更加直观、清晰.(1)过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x－1交于点A，由此知道A点的纵坐标是2，将纵坐标2代入表达式y=x－1中，可以求出x的值，从而求出A点坐标为(3,2)；题目中给出B点关于直线x=1与点A对称，因此可以求出B点坐标为(－1,2)(我们可以根据题意画出示意图，找出A点、B点的大致位置，解题更直观，思路更清晰，不易出错).(2)经过点A，B.用待定系数法可以直接求出的表达式，这里有两个待定系数，通过代入A，B两点的坐标，得到一个二元一次方程组，从而使问题得解，解得：－2x－1.(3)中给出抛物线:(a≠0)与线段AB恰有一

4、个公共点如图2-4-1，我们知道这里的a决定二次函数开口的方向和大小，与线段AB恰有一个公共点，就是告诉我们A、B是临界点，分别代入A、B点坐标，求出a的值，解得当过A点时，a=；当过B点时，a=2.在此我们可以画出函数图象的示意图发现，当a=2时，函数图象与线段AB有两个交点，因此结论是≤a<2.例2(2016·海淀一模27题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线－2mx+m－4(m≠0)的顶点为A，与x轴交于B，C两点(点B在点C左侧)，与y轴交于点D.(1)求点A的坐标；(2)若BC=4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G(包含C，D两点).若过点A

5、的直线y=kx+b(k≠0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.【解】－2mx+m－4－4.∴点A的坐标为(1,－4).(2)①由(1)得,抛物线的对称轴为直线x=1.∵抛物线与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),BC=4,∴点B的坐标为(－1,0),点C的坐标为(3,0).∴m+2m+m－4=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为－2x－3.②由①可得点D的坐标为(0,－3).当直线过点A,D时,解得k=－1.当直线过点A,C时,解得k=2.结合函数的图象可知，k的取值范围为－1≤k<0或0

6、函数的综合，考查学生对数形结合思想的认识和运用.首先要对函数表达式以及图象有清晰的认识，能画出函数图象的示意图.题目中给出的表达式－2mx+m－4是带有待定系数m的，但通过观察我们会发现前面三项如果提出字母m，是一个完全平方式，我们可以把这个表达式写成顶点式的形式.(1)根据顶点式求出顶点A的坐标为A(1,－4)；(2)中①给出BC=4，由(1)我们可以知道抛物线的对称轴是直线x=1，又由已知条件知道抛物线与x轴交于B，C两点(点B在点C左侧)，根据二次函数的对称性可以求出B(－1,0)、C(3,0).将B(－1,0)或者C(3,0)代入－2mx+m－4,即可求出m的值,从而

7、求出抛物线的解析式为－2x－3;②我们首先要画出示意图,找出临界点D，C,并确定临界点D的坐标.知道抛物线的解析式,D是抛物线与y轴的交点，因此可以求出D(0,－3).过点A的直线y=kx+b(k≠0)与图象G有两个交点,可以画出示意图,当直线过点A,D时,解得k=－1.当直线过点A,C时,解得k=2.从而求出k的取值范围为－1≤k<0或00)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是