谈谈对于微分符号df的理解

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1、谈谈对于微分符号df的理解[转载]  2011-11-1114:15:02

2、  分类： math

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4、字号 订阅☆─────────────────────────────────────☆    Cracker(rock)于 (ThuAug 610:37:132009) 提到:   发信人:symplectic(身无彩凤双飞翼),信区:Mathematics 标 题:谈谈对于微分符号df的理解 发信站:北大未名站(2003年05月28日07:29:07星期三),站内信件   这两天，不断有人问起这个问题，倒值得认真讨论一下。记得别

5、人回忆 陈省身先生的文章里也提到，五十年代时，研究生们看到他在黑板上随意 写下外微分表达式dx，还会觉得惊讶和迷惘。我在这里重新整理了一下 自己以往的认识。这里写下来，就正于大家，也许对学习微分流形的朋友 会有帮助。   问题的确切表述，应该是这样： 给定微分流形M上的可微函数f，问表达式df=f_i*dx^i 的确切含义是什么？ 这里x^i表示一个局部坐标系的坐标分量，f_i表示f对x^i的偏导数。   这个表达式，其实在多元微积分里已经出现了。估计最初大家都跟我一样， 把它当作是一个方便的形式记号。在当时的条件下，df可以理解为n

6、元函数 f的Jacobian的另一种表达方法。注意这时的Jacobian应该是一个n 元向量，则f_i表示的是此向量的各个分量，而dx^i意味着此分量表达 是相对于坐标x^i而确定的。   从微分流形的观点而言，我们可以有更好、更深入的看法。我们不妨设想自己 处于这个理论创立者的地位上，那么很自然地要考虑：给定微分流形M，上面 有什么自然的构造？   显然，如果光有M本身，可做的事情少得可怜。这时，一个有意义的想法， 就是考虑某些典则/典型(canonical/model)的流形，然后考虑M与此流形 的关系，利用这种关系来刻划M本身的

7、结构和性质。   要找这样的模板，最自然的选择莫过于欧氏空间(须知流形本来就是局部以欧氏 空间为模板而“搭”起来的)，而对高维欧氏空间的研究，无外乎是多元微积分， 结果最后还要归结到一元函数论。因此，最基本的选择，就是取实数集R(视为 一维流形)来作模板。   取定M和R，我们该考察它们间的什么关系呢？有一定见识的同学，自然会 认识到，在一个给定范畴中，定义好基本概念和对象后，紧接着该考虑的就是 这些对象间的映射关系。所以，我们现在有两类最基本的研究材料：一类是 R到M的可微映射，一类是M到R的可微映射；前者就是M上的曲线， 后者就是

8、M上的函数。   再接下来，我们决定，先研究相关的局部性质，因为这显然最容易着手，也是 最基本的。从微积分的经验，我们可以预想到应当引入对曲线和函数的线性逼 近，这对应于微分运算，而这也正是我们该做的事情。(须知流形本来就是为了 推广微积分理论而发明的最一般的框架。)   现在我们限于M上一点p附近来做，则上述一阶逼近的考虑，会引导出两类 东西。一类，是过p点的曲线在p点的微分，它可以描述为一个等价类，其 中等价的对象是在p点彼此相切的曲线，它们并且有相同的“瞬时速度”(注 意我们用到的不仅是曲线，而且还包括其参数化，即具体的从R出发

9、的映射)。 我必须马上指出，“相切”这个概念是有意义的，因为我们可以利用局部坐标 系转化到欧氏空间里考虑，而“相切”的性质与坐标选取无关。另外还请注意， 这个看法，既是直观的(借助了几何图象)，同时又是抽象的(采用了等价类的 代数描述)。好了，我们再来看第二类对象，它们是任意函数在p点处的微分， 它们同样可以描述为一些等价类，其中每一类里包含的是一些在p点邻域上 取值的函数，它们沿任意方向的方向导数相同。同样我要在这里提醒大家注意， 这里沿某方向的方向导数是良定的(well-defined)。(如果有人担心这里的 “方向”和“方向导数

10、”概念还没有建立起来，那我可以修改为“沿过p点的 任意可微曲线，此函数在p点的导数”。)   这两类东西，作为对应映射在一点的线性化，本身就自然带有线性结构。第一 类对象，构成了p点的切空间；第二类对象全体，恰好构成前者的对偶空间， 即余切空间。把各点处对应的这些空间联系起来看，就给出了切丛和余切丛。   回头来看开头的表达式，则左边的df，其实就是由f决定的一个“余切元素” (记住，它代表一个等价类)。右边呢，x^i作为给定的局部坐标，也就自然 给定了n个坐标函数，这些函数分别决定了n个余切元素，且构成p点处 余切空间的一个基底，它

11、们就是dx^i，而df就可以由它们线性表示。巧得 很，这样表达出来的坐标分量，正好是f沿对应方向的偏导数。   话说到这里可以结束了，但我想把有关的东西进一步解释清楚点。接着原式， 如果我们把f“遮”起来不看，则左边的d