经济数学教案（高职）

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1、第一讲第一章：函数4学时教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。教学过程：一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)2)元素与集合的关系：，一个集合，若它只含有有限个元素

2、，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。全集I：AiI（I=1，2，3，……..）。空集：。2、集合的运算并集：交集：差集：补集（余集）：I＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：结合律：，分配律：，对偶律：(笛卡儿积：A×B3、区间和邻域1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。2）无限区间：（），，，，。3）邻域：注：a邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记

3、为。二、映射映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作其中称为元素的像，并记作，即。注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。三、函数1、函数的概念定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，记为。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点(关于

4、原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成立：)3、函数与复合函数1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称。2）复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数f（x）=若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则f（x）=f1[（x+a-）]+f1[（x+a+）]-f1（a）4、初等函数1）幂函数：2)指数函数：3)对数函数：4)三角函数：5)反三角函数：，以上五种函数为基本初等函数。6）双曲函数：，，注：双曲函数的单调性、奇偶

5、性。双曲函数公式：7）反双曲函数：例1已知分段函数1）求其定义域并作图；2）求函数值例1求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x2,y=arctanu2,u=tanv,v=a2+x2.例2求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0x〈），作业：见课后各章节练习。第二讲第一章：函数4学时教学目的与要求：掌握复合函数的分解方法；熟悉经济分析中的常用函数。教学内容概述：本讲主要讲授复合函数的分解；经济分析中的常用函数。教学重点（难点）：理解复合函数的分解；掌握常用经济函数的具体形式。教学过程：一、复合函数注：（1）不是任何两个函数都可以复

6、合成一个复合函数。例如：；因前者定义域为[-1，1]，后者，故这两个函数不能复合成复合函数。（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。例1设求解=例2将下列函数分解成基本初等函数的复合（1）（2）解（1）所给函数是由四个函数复合而成的（2）所给函数是由三个函数复合而成的。二、常用经济函数1、单利与复利单利计算公式设初始本金为P（元），银行年利率为r，则第一年末本利和为；第二年末本利和为；。。。。。。第n年末本利和为。复利计算公式设初始本金为P（元），银行年利率为r，则第一年末本利和为；第二年末本利和为；。。。。。。第n年末本利和为2、多次付息单利付息情形因每次

7、的利息不记入本金，故若一年分n次付息，每次利息为则第一次末本利和为第二次末本利和为。。。。。。第n次末即年末的本利和为复利付息情形因每次支付的利息记入本金，设初始本金为P（元），银行年利率为r，若一年分m次付息，第一次末本利和为第二次末本利和为。。。。。。第m次末即一年末的本利和为第m+1次末的本利和为第二年末的本利和为第n年末本利和为例1：现有初始本金100元，若银行年储蓄利率为7%，问：（1）按单利计算，3年末的本利和为多少？（2）按复利计算，3年末的本利和为多少？（3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍？解（1）已知p=100，r=0.07由