线性代数课程论文

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1、实用标准文案矩阵的秩及其应用【摘要】矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。本文将针对其性质进行具体分析【关键词】矩阵；秩；应用；一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。事

2、实上，以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。（一）矩阵秩的概念定义1　若为矩阵，在中任意取行、列，则位于这些行与列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.显然，若为矩阵，则的阶子式共有个.当时，它的任何子式都为零.当时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.再考察二阶子式，若中有一个二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到中有阶子式不为零，而再没有比更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数反映了矩阵内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2设为矩阵，如果存在的阶子

3、式不为零，而任何阶子式(如果存在的话)皆为零，则称数为矩阵的秩，记为.并规定零矩阵的秩等于0.由定义2，根据行列式的性质易知，矩阵的秩就是矩阵精彩文档实用标准文案的最高阶非零子式的阶数.（二）矩阵秩的性质性质1　若为矩阵，则.性质2　若矩阵中有某个阶非零子式，则；若矩阵中所有阶子式全为零，则.性质3　若矩阵的秩，则.定义3　设为阶方阵，若，则称矩阵为满秩矩阵；若，则称矩阵为降秩矩阵.由此可得定理1　阶矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵为满秩矩阵；阶矩阵为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵为降秩矩阵.性质5　若矩阵，则.性质6　若矩阵可逆，则.性质7　若矩阵与的

4、秩分别为,则，特别地，当为列向量时，则有　　.性质8　若矩阵与的秩分别为，则.性质9　若矩阵，则.根据矩阵的性质，可以给出下列例题：例1　设为阶矩阵，且,证明.证　因为，由性质7得而，所以.精彩文档实用标准文案又,由性质9得.综合即得.（三）矩阵秩的求法定理　矩阵经初等变换后，其秩不变.也就是说，若，则根据这个定理，我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变

5、换也不改变矩阵的秩。其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩。以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩。下面，我们可以从具体矩阵的初等变换法求解中看：例2求矩阵的秩.解：，所以.精彩文档实用标准文案例3求阶矩阵的秩．分析思路一：先用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后再讨论参数的取值，确定矩阵的秩．思路二：先求出，然后令求出参数的值，最后再根据的取值情况确定矩阵

6、的秩．解法一因为所以，1）时，．2）时，．3）时，．解法二因为所以，1）时，，故．精彩文档实用标准文案2）时，故；3）时，，故．注（1）初等变换不改变矩阵的秩．（2）阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数．（四）矩阵秩的应用矩阵的秩是矩阵最重要的数字特征之一，它与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。根据矩阵是否为满秩矩阵，可以判断一个矩阵是否可逆，其逆命题同样成立。而对于线性方程组解的情况，也可以根据原矩阵及其增广矩阵的秩的关系来判断。对于（无论或），都有以下判断关系：①、当时，无解；②、当时，有唯一解；③、当时，有无穷多解。下面，我们通过具体题

7、目来了解矩阵秩在解题过程中的应用：例4设A为矩阵，B为矩阵，且，证明：（1）、如果，则；精彩文档实用标准文案（2）、如果，则。证：（1）若，则B可逆，此时对两边同右乘,则,即；若，则B中必有一r阶子式不为零，对B作列变换，可将B化为，即存在可逆方阵P，BP=.对两边同右乘P，则,由即知.（2）,由（1）知即.注：第一小题中“若，则B可逆”，是整个问题的突破点。例5设矩阵，且,求k.分析：由题设可知，又A中仅有一个未知量，展开，得到一元高次方程，根据矩阵的秩和方程的根之间的联系求出未知量的值。解：因为4阶方阵A的秩为3，故有，而由，得或，当时，显然有精彩文

8、档实用标准文案，与题设条件不符，故，而当时，A中左上角的3阶子式，