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1、泉州七中2011届高三（文科）数学第二轮专题综合训练（四）导数及其应用笫二讲利用导数研究函数的单调性2011.2.28一、可导函数的相关结论1、已知在D上单调递增（或递减）恒成立问题；2、求的单调增区间（或减区间）解不等式问题：；3、存在单调增区间（或减区间）有解；4、在D上不单调必有一部分图像在区间D内部穿过x轴至少有一个非重根在区间内部的根；也可转化为根的分布处理。5、在D上存在极值在D上不单调，转化为第4点。6、在D上存在极小值的必有一部分图像在区间D内部从下到上穿过x轴。可转化为根的分布处
2、理。二、典例分析例1.已知函数，（Ⅰ）判断函数的奇偶性；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域为{且}…………………1分 ∴为偶函数（Ⅱ）当时，………………4分若，则，递减；若，则，递增．…………………6分再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和．…………………8分xyO-111-1111。（Ⅲ）方法一：要使方程有实数解，即要使函数的图像与直线有交点．函数的图象如图．9分先求当直线与的图象相切时的值．当时，设切点为，则切线方程为，将代入，
3、得即（*）…………10分显然，满足（*）而当时，，当时，∴（*）有唯一解…………12分此时再由对称性，时，也与的图象相切，…………………13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．14分方法二：由，得：…………………9分令,当，…………10分显然时，，,时，，∴时，…………………12分又，为奇函数,∴时，∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）…………………13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．例2.（2010·辽宁理卷）已知函数（I）讨
4、论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力。【思路点拨】（I）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，（II）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围。【规范解答】【方法技巧】1.讨论函数的单调性首先明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏。2.求参数取值范围往往要分离变量分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等。3.
5、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题。例3.（2009·江西卷理）设函数（1）求函数的单调区间；21世纪教育网（1）若，求不等式的解集．解：(1),由,得.因为当时,；当时,；当时,；所以的单调增区间是:；单调减区间是:.(2)由,得：.故：当时,解集是：；当时，解集是：；当时,解集是：.21世纪教育网例4.已知函数f(x)=(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围
6、？若不存在，请说明理由。解：（1）由已知，得h(x)=且x>0,则hˊ(x)=ax+2-=,（2分）∵函数h(x)存在单调递增区间,∴hˊ(x)≥0有解,即不等式ax2+2x-1≥0有x>0的解.（3分）①当a<0时,y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1≥0总有x>0的解,则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根,而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时,则必定是两个不相等的正根.故只需Δ=4+4a>0,即a>-1.即-10时,y=
7、ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0一定有x>0的解.（6分）综上,a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)（7分）（2）方程即为等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0.（8分）设H(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,于是原方程在区间()内根的问题,转化为函数H(x)在区间()内的零点问题.（9分）Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=（10分）当x∈(0,1)时,Hˊ(x)<0,H(x)是减函数；当x∈(1,+∞)时,Hˊ(x)>0,H(x)是增函数；若H(x)
8、在()内有且只有两个不相等的零点,只须解得,所以a的取值范围是(1,)（14分）例5（2009浙江理）已知函数，，其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，
