求极限的多种方法

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1、求极限的多种方法一，根据迫敛性求极限1，求数列极限定理2.6：设收敛数列{}，{}都以a为极限，数列{}满足：存在正数,当n>,时有≤≤，则数列{}收敛，且。例（）≤≤≡1==1所以（）=12，求函数极限定理3.6：设且在某内有则例求当x.>0时，1-x＜≤1而（1-x）=1故由迫敛性可知，=1另一方面，当x<0时，有1＜≤1-x，故由迫敛性又可得，=1综上求得=1二，利用四则运算求极限定理3.7：若极限f(x)与g(x)都存在，则函数f+g,f-g,f.g,，当x的极限也存在，且1)[f(x)±g(x)]＝f(x)±g(x)2)[f(x)g(x)]＝f(

2、x).g(x)3)＝f(x)／g(x)例2(xtanx-1)解由xtanx=xsinx==cosx按四则运算法则有(xtanx-1)=x.－1=三，两个重要极限=e例2求=例3求=[]==四，运用洛比达法则求极限1，型不定式极限定理6.6若函数f和g满足1）f(x)=g(x)=02)在点x0的某空心领域内两者可导且≠03）=A则==A例2求解容易检验f(x)=1+cosx与g(x)=在点x0=π的领域内满足的条件1）和2）故洛比达法则得=2，型不定极限定理6.7若函数f和g满足1）f(x)=g(x)=∞2)在x0的某右领域为两者可导，且≠03）=A则==A

3、例2解;由定理6.7有=3，其他类型不定式极限例7求解：这是一个0.∞型不定式极限，用恒等变形xlnx=将它转化为型的不定式极限，并应用洛比达则==(-x)=0例8求解;这是一个型不定式极限，做恒等变换其指数部分的极限是型不定式极限，可先求的=-1/2从而得到=例10求这是一个型不定式极限，类似先求对数极限==1于是有=e五，利用泰勒公式求极限例2求极限首先考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限分子（取n=4）Cosx=1-+=1-+Cosx-=-因而求得例3==-六，利用定义求极限例4根据定义的语言，数列收敛,有。例1、用语言证明证明：要使不等

4、式成立，解得，取，于是，有。即七，利用初等函数的连续性求极限例3、求解：原式===八，利用无穷小量的性质求极限关于无穷小量的性质有三个，但应用最多的是性质：若是无穷小，函数在的某去心邻域有界，则函数是无穷小例8、求解:而，而故所以九，利用等价无穷小代换求极限一些常见的等价无穷小：当x→0时，，，，，，，等等。例9、求～解：，由于当时，～,～，～,上式用等价无穷小代换得十，利用中值定理求极限例12、解：对在区间上用拉格朗日中值定理，得，。因为，所以十，利用一些常用结论求极限例如，等等极限不存在的证明一、左右极限法原理：判断当时的极限，只要考察左、右极限，如果

5、两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明当时的极限不存在。因为x=0，，，所以当时，的极限不存在。