【第四讲】随机模拟讲义稿子

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1、实用标准文案第四讲随机模拟如果认为计算机在数学建模中的作用仅仅是根据已经建立的模型，代入数据算出最后结果的话，那就错了。其实计算机可以在建模阶段帮助我们选捧合理的模型，对模型进行定量的测试从而帮助我们评价和改进。计算机模拟中的蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述

2、事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。4.1相关原理及计算实验1.模拟法分类（1）运筹对策法：主要用于军事对策和企业管理对策。如现代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。（2）蒙特卡罗法：蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法，与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。例1：设总计投了M根针，落入阴影部分N根，则不规则图形的面积为11针在平行线间的位置图（4.1）图（4.2）例2.（蒲

3、丰投针实验）为了求得圆周率π精彩文档实用标准文案值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：求出π值其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。一些人进行了实验，其结果列于下表：表4-1实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarin

4、i)190134083.1415929解：设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ）来描述，x为针中心的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为：类似地，θ的分布密度函数为：精彩文档实用标准文案因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。由此得到：其中

5、ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为如果投针Ｎ次，则是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，于是有由以上例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。（3）系统模拟法：是用数字对含有随

6、机变量的系统进行模拟，可看作是蒙特卡洛法的应用。一般说来，蒙特卡洛法用于静态计算，而系统模拟法用于动态模型计算。我们主要讨论此法。精彩文档实用标准文案2.随机数的产生（1）[0,1]区间上均匀分布随机数的产生在连续型随机变量的分布中，最简单且最基本的分布是单位均匀分布。定义:设为[0,1]上服从均匀分布的随机变量，即的分布密度函数与分布函数分别为：，则的样本值，即以即以等概率取自[0,1]的一串数称为[0,1]上均匀分布的随机数。随机数的产生方法主要有以下几种：物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的热噪声。（如可

7、将热噪声源装于计算机外部，按其噪声电压的大小表示不同的随机数。此法产生的随机性最好，但产生过程复杂。）查随机数表（RandTable）（1955年由美国兰德公司编制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的随机性，没有周期性。使用时，可根据需要任取一段（横或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，要几位取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数：由于第i+1个随机数是由第i个按一定公式推算出来的，故并非真正的随机数。（2）任意概率分布随机数的产生以上介绍了均匀分布R

8、的随机数的产生方法，那么任意分布X的随机数如何产生？我们说，X的随机数可以利用得到。那么X与R间的关系又是什么？定理：设R是服从[0，1]区间上均匀分布的随机变量，X的分布函数为，则。例3：利用[0，1]区间均匀分布的随机数表示服从负指数分布的随机数。解：设X服从负指数分布，则，由，知所以