《圆地证明与计算》专的题目讲解

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1、实用标准文案《圆的证明与计算》专题讲解圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都

2、可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.知识点一:判定切线的方法:(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:方法一:若

3、直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.求证:EF与⊙O相切.例2如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300精彩文档实用标准文案,BD=OB,D在AB的延长线上.求证:DC是⊙O的切线例3如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.求证:PC是⊙O的切线.方法二:若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要

4、证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何综合题)例1:已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.求证:CD是⊙O的切线.知识点二:与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。精彩文档实用标准文案特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系

5、,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:(1)构造思想:如:①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);射影定理:所谓射影,就是正投影。其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影。由三角形相似的性质:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,A

6、D是斜边BC上的高,则有射影定理如下::(1)(AD)2;=BD·DC,(2)(AB)2;=BD·BC,(3)(AC)2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型(已知线段长度);⑤构造三角函数(已知有角度的情况);找不到,找相似(2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模

7、型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。范例讲解:例题1:△ABP中,∠ABP=90°,以AB为直径作⊙O交AP于C点,弧=,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求的值。例题2:直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F.⑴求证:CD为⊙O的切线⑵若,求的值精彩文档实用标准文案例题3:如图,AB为直径,PB为切线,点C在⊙O上,AC∥OP。(1)求证:PC

8、为⊙O的切线。(2)过D点作DE⊥AB,E为垂足,连AD交BC于G,CG=3,DE=4,求的值。例题4(2009调考):如图,已知△ABC中,以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为的中点,AF为△ABC的角平分线,且AF⊥EC。(1)求证:AC与⊙O相切;(2)若AC=6,BC=8,

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