计算方法第2章非线性方程数值解法

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1、计算方法讲稿第二章非线性方程数值解法第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程(2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程也是最简单的非线性方程，其解为：但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。2.1基本概念定义2.1如果满足，则称为方程(2.1)的解或根，也称为函数的零点或根。用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。定义2.2若连续函数在内至少有一个根，则称为

2、有根区间，若在内恰有一个根，则称为隔根区间。定理2.1如果函数在上连续且，则在内至少有一个根，如果函数另外满足在上单调连续，则在内恰有一个根。寻找隔根区间的通常方法有：图形法,试探法。例2.1求的有根区间。解：作出函数的曲线图形19授课对象：北京工业大学计算机学院本科生编者：杨中华计算方法讲稿第二章非线性方程数值解法图2.1例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X轴的交点，可判断在区间之间方程有一个根。例2.1求的有根区间。解：计算出在一些点的值。-3-2-10123-12-10-3-4324从表中可以看出是一个根，区间是一个有根区间。如果在[-2,-

3、1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格-2-1.75-1.5-1.25-1-1-0.0470.3750.3950在这个表格里我们又发现一个有根区间。从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。2.2二分法二分法也称为对分法，是我们求解很多问题的有效方法，求解非线性方程也有称之为“二分法”的数值方法。二分法的算法思想非常简单、直观，收敛性也易于理解，以下我们给出求解非线性方程二分法的算法过程。设在区间上连续且，由高等数学的知识可知在区间内至少有的一个根，令，取此区间的中点，则1)如果，区间内至少有的一个根，令19

4、授课对象：北京工业大学计算机学院本科生编者：杨中华计算方法讲稿第二章非线性方程数值解法；1)如果，区间内至少有的一个根，令如此我们将得到一个新的区间，可以断定在此区间内至少有一个根且新区间的长度缩小到原长度的一半，反复执行这一过程，我们将得到一个包含根的区间序列，这个有根区间序列的每个区间有3个的特点1)均是有根区间，；2)区间包含，；3)区间长度减半，。二分法算法的收敛性证明正是基于这3个特点，证明如下：按照以上算法过程，我们可以得到一有根区间序列，在每个区间内取其中点构造近似解序列(2.2)则有(2.3)从而说明所构造的算法是收敛的。误差估计：

5、按照(2.3)式，我们可以得到以作为的近似解，其误差为(2.4)即近似解的误差不超过原区间的倍。终止准则：如果要求近似解的误差达到指定的精度，即要求，根据(2.3)式只要当前有根区间满足下式即可：19授课对象：北京工业大学计算机学院本科生编者：杨中华计算方法讲稿第二章非线性方程数值解法(2.5)迭代次数：在给定精度后就可以确定迭代次数k，也就是说只要迭代k次，其近似解就可以达到所要求的精度，根据终止准则(2.5)式，有：对上述后边的式子两边取对数就可以算出满足精度所需要的迭代次数。算法2.1(求解非线性方程的二分法)0)[初始化]取初始有根区间，计

6、算，置迭代精度1)如果，则得近似解，算法结束2)取3)如果则，否则4)转1)继续迭代。5)[算法结束]实际计算时，在已经确定函数值时，仅需要计算其中一个函数值，在每个迭代过程中，只需要计算并不需要再次计算，以节约计算量。例2.1求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数点后两位(即至少有三位有效数)。解：首先用有效数字与绝对误差关系公式确定精度再计算需要迭代的次数两边取对数则有，实际计算过程的结果如下：迭代次数abb-axf(x)11.000001.500000.500001.25000-0.2968821.250001.500000.250001.

7、375000.2246131.250001.375000.125001.31250-0.0515141.312501.375000.062501.343750.0826151.312501.343750.031251.328130.0145819授课对象：北京工业大学计算机学院本科生编者：杨中华计算方法讲稿第二章非线性方程数值解法61.312501.328130.015631.32031-0.01871最后近似解为：，精确解为：，估计误差为：0.005，实际误差为：二分法的优点是算法简单，无需任何参考资料就可以编程实现；缺点是收敛速度慢。2.3迭代

8、法迭代法也称为简单迭代法、不动点迭代法，是一种对方程根的逐步逼近、逐步精确直到满足给定精度要求的迭代算法。1．迭代法的计算