第08章特征函数

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1、实用标准文案第八章特征函数第一节特征函数一、复随机变量1、定义：设与均为上的一维随机变量,称为上的复随机变量.2、的数学期望:,若、均存在.3、相互独立：设()独立，称()独立.4、性质：(1),其中为复常数.证明：.(2).证明：.(3).证明：仅证离散型.设,则精彩文档实用标准文案.(4),.证明：.(5)若独立,则.证明：仅证明时成立即可.因独立,则与独立,从而与,与,与,与,均独立.那么.(6)，必存在.证明：仅证连续型.因,，故与存在,从而存在.二、特征函数1、定义:设为上的一维随机变量,,规定,称为的特征函数.精

2、彩文档实用标准文案显然：①.②若为离散型,则.③若为连续型,则.2、性质：(1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：,,其中：;由于,,(因为收敛)取,当时,精彩文档实用标准文案.(4),为常数；证明：.(5)设()独立,则.证明：仅证明时成立即可..(6),若存在.证明：因.所以.三、常见分布的特征函数1、离散型(1)退化分布：.证明：.(2)：,其中.精彩文档实用标准文案证明：.(3):.证明：,服从参数为的(0-1)分布,且独立,,所以.(3):.证明：.2、连续型(1)：.特别：①：；②：.证明：(2

3、):.(3):.精彩文档实用标准文案证明：.(4)：.证明：.其中:.下面计算:,.,,精彩文档实用标准文案在上,,.第二节唯一性定理一、逆转公式1、预备知识(1)设有函数，使得，，收敛,则在上一致收敛.于是有；又若在上连续,则.华东师大《数学分析(下)》(2)狄里克莱积分:华东师大《数学分析(下)》，.精彩文档实用标准文案(3)设，,则2、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,又是的连续点，则证明:不妨设，且,令，因为.又收敛,则又因为存在,故.所以精彩文档实用标准文案.二、唯一性定理1、唯一性定理:的分布函数由其特征函数

4、为唯一确定.证明:在的每一个连续点上，取也为的连续点,于是有.因由其上连续点唯一确定，故由唯一确定.2、设,且,则.证明:因,故连续.,,有，又，且,于是.精彩文档实用标准文案注意为解析函数,.三、分布函数的再生性1、，独立,则:.证明：因，.由唯一性定理知,.2、，独立,则:.证明：因，.由唯一性定理知,.3、,独立,则:.证明：，,由唯一性定理知,.4、,独立,则:.精彩文档实用标准文案证明：，,由唯一性定理知,.第三节维随机变量的特征函数一、特征函数1、定义:设为上的维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①若为离散

5、型,则.②若为连续型,则.注：2、性质：(1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：,,精彩文档实用标准文案.其中：,注：,,此式利用了许瓦兹不等式:.因，由判别式可得.为方便起见,以下引入记号：①，,.②，,特别记:,.例：,,.③,其中,.精彩文档实用标准文案特别记,为单位矩阵.例：,,.④,为的取有行的向量,,为的取有行和列的矩阵,例：,,,④,，但均为非负整数.(4),为常量,为常矩阵.精彩文档实用标准文案证明：.注：(5)边缘分布：,,特别，证明：.其中：(6),若存在,.说明：二、逆转公式1、逆转公

6、式：设的分布函数为,特征函数为,在体面上概率为0,则.2、唯一性定理:的分布函数由其特征函数唯一确定..三、独立性1、设()独立,则.证明：仅证明时成立即可..精彩文档实用标准文案2、设为维随机变量，则，独立.证明:“”因为，独立，从而,所以.“”因为,所以.故，独立.第四节维正态分布矩阵回顾：(1)正定,记为;非负定,记为.(2),.(3)所有主子式存在,,使得存在,,使得.精彩文档实用标准文案(1)所有主子式存在,使得.(2).这时即的主子式.(3),则.(4)对称合同于对角矩阵,即存在,,使得为对角矩阵.一、维正态分布

7、1、定义：设,,为阶正定矩阵，且,称服从维正态分布，记作.2、验算：验算确实是维随机变量的密度函数.(1)显然：,;(2)因，故存在,,使得，且.令,于是,这样,而，有,那么,从而.于是.精彩文档实用标准文案3、特别,当时,.二、特征函数1、的特征函数：.证明：，令,.由于,而,令，,有,所以.2、的特征函数：,因此也是正态分布.其中,，为二次型的矩阵,也是正定矩阵.特别:,.证明：.三、数字特征精彩文档实用标准文案1、设,则.证明：因，从而,,所以.2、设,则.因此有.预备工作：(1)设，为含自变量的可微函数,定义:.(2

8、).证明：.(3)设，与无关,则,.下面证明.证明：因,又,而，,,精彩文档实用标准文案，于是，从而,所以.四、独立性设,则独立,,证明：“”显然.“”因,,.所以独立.五、线性变换1、,,,，则.证明：因,下面证明.因,，,故存在,,使得，且,于是.可见.2、,,服从一维正态分布.证明：