数字特征与特征函数

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1、151《概率论》计算与证明题第四章数字特征与特征函数1、设是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中，再设随机变量视取偶数或奇数而取数值0及1，试求及。2、袋中有k号的球k只，，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。3、随机变量取非负整数值的概率为，已知，试决定A与B。4、袋中有n张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和的数学期望及方差。5、试证：若取非负整数值的随机变量的数学期望存在，则。6、若随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为。试求，。7、若相互独立，均服从，试证。8、甲袋中有

2、只白球只黑球，乙袋中装有只白球只黑球，现从甲袋中摸出只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。9、现有n个袋子，各装有只白球只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为，求。10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。11、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，

3、但它们不相互独立。12、若的密度函数为，试证：与不相关，但它们不独立。13、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。14、若，试证的相关系数等于的相关系数。151《概率论》计算与证明题15、若是三个随机变量，试讨论（1）两两不相关；（2）；（3）之间的关系。16、若服从二元正态分布，。证明：与的相关系数，其中。17、设服从二元正态分布，，试证：。18、设与独立，具有相同分布，试求与的相关系数。19、若服从，试求。20、若及分别记二进制信道的输入及输出，已知，，试求输出中含有输入的信息量。21、在12只

4、金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。23、在贝努里试验中，若试验次数是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要条件，是服从普阿松分布。24、设是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和，其中是随机变量，它与相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明。25、若分布函数成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数

5、。26、试求均匀分布的特征函数。27、一般柯西分布的密度函数为。证它的特征函数为，利用这个结果证明柯西分布的再生性。151《概率论》计算与证明题28、若随机变量服从柯西分布，，而，试证关于特征函数成立着，但是与并不独立。29、试求指数分布与分布的特征函数，并证明对于具有相同值的分布，关于参数有再生性。30、求证：对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立：。31、求证：如果是相应于分布函数的特征函数，则对于任何值恒成立：。32、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，称为随机变量的k阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量

6、等于。33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。34、设相互独立，具有相同分布试求的分布，并写出它的数学期望及协方差阵，再求的分布密度。35、若服从二元正态分布，其中，试找出矩阵，使，且要求服从非退化的正态分布，并求的密度函数。36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。37、若为，（1）求随机变量的边际分布；（2）求。38、若的取值是非负数，且,又，求39、设且二者独立，求,的相关系数40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-，求某人等候发车的平均匀时间。41、某厂生产的园盘的直径服从内的均匀分

7、布，求园盘面积的数学期望。151《概率论》计算与证明题42、搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为，求为了发现沉船所需要的平均搜索时间。43、从数字中按有放回方式取数，设随机变量表示第一次选取的数字，随机变量表示第二次选取的不小于的数字.(1)写出的联合分布列;(2)求.44、如果互不相关,且方差分别为,求的相关系数.45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个数。1)求二维随机变量的联合分布列;2)求46、设相互独立，且，求的相关系数。47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机

8、场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为，保险公司开办五年人寿保险，条件是参加者需要交保险费元，若五年内死亡，公司赔偿元，问应如何确定才能使公司可望受益？若有个人参加保险，公司可望收益多少?49、对敌