隐函数的导数(1)

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1、§2.6隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一.隐函数的导数1.显函数：等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。隐函数：也表示函数，确定了，显化——化隐函数为显函数，有时不容易，甚至不可能，但实际中需求其导数。2.隐函数的求导方法由于确定了,故在中，把看成的函数，则将的两边同时对求导后再解出例1：，求例2：例3：求曲线x2+y4=17在x=4处的切线方程。例4：求由方程，确定的隐函数的二阶导数。3.对数求导法先在两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连积。例5：幂指函数。两边取对数两边对x求导ex:例6：假设讨论其它情形时可得同样

2、的结果。ex:二．由参数方程所确定的函数的导数抛射体的运动轨迹方程：,都是的函数，消去，得与之间的函数关系，即为参数方程所确定的显式表示。1．def:若参数方程(1)确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(1)所确定的函数。为求导数，有时消去参数很困难，希望能直接由参数方程算出它所确定函数的导数。2.求导法则在(1)中，如果具有单调连续反函数，且此反函数能与复合成复合函数，则由(1)所确定的函数可看成是由复合而成的函数,假若,都可导,且,由复合函数求导法则与反函数的导数公式,有(2)此式即为求导公式。也可写成若,二阶可导，则有二阶导数公式：例7：求椭圆处的切线方

3、程和法线方程。ex:例8：求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向。由于速度的水平分量,所以速度的大小为速度的方向即轨道的切线方向。设切线倾角为α，则所以，在刚射出（）时,;当时,,这时运动方向是水平的,抛射体达到最高点。例9．设，其中为三阶可导且三.相关变化率设都可导，由于变量存在某种关系，从而变化率间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从一个求另一个。例10：一气体储存器装有10003cm的气体，其压力是5kg/cm2，若压力以每小时0.05kg/cm2的速率减少,试求其体积的增大率.解:在等温状态下,(C为常量

4、),而=1000时,=5,从而=5000即即体积以10cm3/h的速率增加。:线段长5cm，其两端分别在轴，轴上，已知端点的滑动速度是2m/s，问与坐标原点相距3m时，端点的滑动速度是多少？（见图）解：设滑动中点的纵坐标，点的横坐标，且假定时，在原点。小结：本节介绍了有关隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数及相关变化率等内容，熟练掌握隐函数的导数和参数方程所确定的函数的导数的求法。