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时间:2018-12-27
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1、§3.4定积分与微积分基本定理一、选择题1.与定积分∫dx相等的是( ).A.∫sindxB.∫dxC.D.以上结论都不对解析 ∵1-cosx=2sin2,∴∫dx=∫
2、sin
3、dx=∫
4、sin
5、dx.答案 B2.已知f(x)为偶函数,且f(x)dx=8,则-6f(x)dx=( )A.0B.4C.8D.16解析-6f(x)dx=2f(x)dx=2×8=16.答案D3.以初速度40m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( ).A.mB.mC.mD.m解析 v=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)
6、dt==40×2-×8=(m).答案 A4.一物体以v=9.8t+6.5(单位:m/s)的速度自由下落,则下落后第二个4s内经过的路程是( )A.260mB.258mC.259mD.261.2m解析(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4=313.6+52-78.4-26=261.2.答案D 5.由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( ).A.B.4C.D.6解析 由y=及y=x-2可得,x=4,所以由y=及y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为(-x+2)dx==.答案
7、C6.已知a=2,n∈N*,b=x2dx,则a,b的大小关系是( ).A.a>bB.a=bC.a8、0=1.答案 C二、填空题8.如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6cm,则力所做的功为______.解析由F(x)=kx,得k=100,F(x)=100x,100xdx=0.18(J).答案09、.18J9.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为____________.答案 -ln210.若(2x-3x2)dx=0,则k等于_________.解析(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2=k2-k3=0,∴k=0或k=1.答案0或111.10、3-2x11、dx=________.解析 ∵12、3-2x13、=∴14、3-2x15、dx=∫1(3-2x)dx+(2x-3)dx=1+(x2-3x)16、2=.答案 12.抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________.解析 如图所示,因为y′=-2x17、+4,y′18、x=1=2,y′19、x=3=-2,两切线方程为y=2(x-1)和y=-2(x-3).由得x=2.所以S=[2(x-1)-(-x2+4x-3)]dx+[-2(x-3)-(-x2+4x-3)]dx=(x2-2x+1)dx+(x2-6x+9)dx=+=.答案 三、解答题13.如图在区域Ω={(x,y)20、-2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子,如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,试估计落在图中阴影部分的豆子数.解析 区域Ω的面积为S1=16.图中阴影部分的面积S2=S1-=.设落在阴影部分的豆子数为m,由已知条件=,即m==6021、0.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒.14.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.解析 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==.又由此可得,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,=∫(x-x2-kx)dx==(1-k)3.又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.15.曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P,求过P的切线l与C围成的图形的面积.解析 设切点坐标为(x0,y0)y22、′=6x2-6x-2,则y′23、x=x0=6x-6x0-2,切线方程为y=(6x-6x0-2),则y0=(6x-6x0-2),即2x-3x-2x0+1=(6x-6x0-2).整理得x0(4x-6x0+3)=0,解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.解方程组得或由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知S=∫0[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=∫0(-2x3+3x2)dx=.16.已知二次函数f(x)=3x2-3x,直线l1:x=2和l2:y=3tx(其中t为常数,且024、、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15-3,设这两个阴影区域的面积
8、0=1.答案 C二、填空题8.如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹性限度内将弹簧拉长6cm,则力所做的功为______.解析由F(x)=kx,得k=100,F(x)=100x,100xdx=0.18(J).答案0
9、.18J9.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为____________.答案 -ln210.若(2x-3x2)dx=0,则k等于_________.解析(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2=k2-k3=0,∴k=0或k=1.答案0或111.
10、3-2x
11、dx=________.解析 ∵
12、3-2x
13、=∴
14、3-2x
15、dx=∫1(3-2x)dx+(2x-3)dx=1+(x2-3x)
16、2=.答案 12.抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________.解析 如图所示,因为y′=-2x
17、+4,y′
18、x=1=2,y′
19、x=3=-2,两切线方程为y=2(x-1)和y=-2(x-3).由得x=2.所以S=[2(x-1)-(-x2+4x-3)]dx+[-2(x-3)-(-x2+4x-3)]dx=(x2-2x+1)dx+(x2-6x+9)dx=+=.答案 三、解答题13.如图在区域Ω={(x,y)
20、-2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子,如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,试估计落在图中阴影部分的豆子数.解析 区域Ω的面积为S1=16.图中阴影部分的面积S2=S1-=.设落在阴影部分的豆子数为m,由已知条件=,即m==60
21、0.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒.14.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.解析 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==.又由此可得,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,=∫(x-x2-kx)dx==(1-k)3.又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.15.曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P,求过P的切线l与C围成的图形的面积.解析 设切点坐标为(x0,y0)y
22、′=6x2-6x-2,则y′
23、x=x0=6x-6x0-2,切线方程为y=(6x-6x0-2),则y0=(6x-6x0-2),即2x-3x-2x0+1=(6x-6x0-2).整理得x0(4x-6x0+3)=0,解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.解方程组得或由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知S=∫0[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx=∫0(-2x3+3x2)dx=.16.已知二次函数f(x)=3x2-3x,直线l1:x=2和l2:y=3tx(其中t为常数,且024、、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15-3,设这两个阴影区域的面积
24、、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15-3,设这两个阴影区域的面积
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